2021学年第21章 二次根式21.1 二次根式课时训练

第6讲 二次根式

       【学习目标】

1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．

        【基础知识】

考点一、二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

考点诠释：

　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

考点二、二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2. （≥0）；

3..

4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.

5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，

即（≥0，>0）.

考点诠释：

（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即.

（2）与要注意区别与联系：

①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

②≥0时，==；<0时，无意义，=.

考点三、最简二次根式

 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

   满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

考点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开放数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

   【考点剖析】

考点一：二次根式的概念

例1．当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.

【答案】 3.

【解析】 这三个式子满足无论取何值，被开方数都大于或等于零.

【总结】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

举一反三：

【变式】下列式子中二次根式的个数有（   ）.

（1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）（）

A．2     B.3    C.4    D.5

【答案】B.

例2. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？

（1）；              （2）y=－； 

【答案】 （1）≥0，所以x≥1.

               （2）≥0,≥0,所以≤x≤；

【总结】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.

举一反三：

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（  ）.

  A.    B.   C.     D.

【答案】B.

考点二：二次根式的性质

例2． 计算下列各式：

(1)     (2)

【答案】(1) .

            (2) .

【总结】 二次根式性质的运用.

举一反三：

【变式】（1）=_____________. 

（2）=_____________.  

【答案】(1) 10； (2) 0.

例4. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．

【答案】解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，

故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，

原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|

=﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）

=b﹣3．

【总结】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.

举一反三：

【变式】若整数满足条件则的值是___________.

【答案】=0或=-1.

考点三：最简二次根式

例3．  下列根式

中，最简二次根式共有      个.

【思路】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【答案】2

【总结】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.

举一反三：

【变式】下列各式中,是最简二次根式的是（　　）

　 A．   B．   C．    D.2        

【答案】C.

        【真题演练】

一．选择题

1. （宁波）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1

【答案】D.

【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1.

2. 若,化简 (   ).

A.   B.    C.     D.

【答案】D .

【解析】因为 原式=.

3.下列说法正确的是（   ）

A．是一个无理数   B．函数的自变量x的取值范围是x≥1

C．8的立方根是   D.若点关于x轴对称，则的值为5.

【答案】 D.

【解析】 =2是有理数；的x的取值范围是x>1;8的立方根是2；

因为关于x轴对称，所以，及,所以选D.

4.下列各式中正确的是（　　）

　 A.=a    B.=±a    C.=﹣a    D.=|a|

【答案】D.

【解析】解：A、当a＜0时，=﹣a，故选项错误；

B、表示算术平方根，故选项错误；

C、当a＞0时，=a，故选项错误；

D、正确．

故选D．

5.下列根式是最简二次根式的是（   ）.

A．　　　　 B．　　　　 C． 　　　　D．

【答案】 B.

【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D选项都含有能开方的项，C选项含有分母，所以选B.

6. 已知，化简二次根式的正确结果为（   ）.

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

【答案】 D.

【解析】 因为，是被开方数，所以y<0,x<0,

          所以原式===.

二. 填空题

7. （营山县一模）使式子有意义的x的取值范围是　       　．

【答案】x≥﹣3且x≠5．

【解析】由题意得，x+3≥0，x﹣5≠0，解得x≥﹣3且x≠5．

8.=____________.  若，则____________.

【答案】.

9．（1）=_____________. 

（2） （a>0）=__________________________.

【答案】(1) 45; (2) -3.

10.若=0，则=_______________.

【答案】 -1.

【解析】因为=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=.

11.当x≤0时，化简=­­­­­­­­­­­­__________________________.

【答案】 1.

【解析】 原式=.

12.有如下判断：

（1）  (2)=1    (3)

(4)（5）（6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.

【答案】 2个.

【解析】只有（1），（3）正确.

三 综合题

13. 当为何值时，下列式子有意义？

  （1）                       (2)

（3）；                  （4）；

【解析】 （1）≥0，即为任意实数；

            （2）≥0，即≤0，即=0.

              （3）

              （4）.

14. 已知实数x，y满足，求代数式的值.

【解析】 因为，所以x=5，y=-4.

            则==1

15.已知实数x，y满足y=+﹣65，求．

【解析】解：∵实数x，y满足y=+﹣65，

∴x-1≥0，且1-x≥0，

∴x=1，y=﹣65，

∴==—4.

       【过关检测】

一、选择题

1. （贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＜1     B．x≤1     C．x＞1    D．x≥1

【答案】C.

【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．

2.使式子有意义的未知数x有(   )个

　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数

【答案】 B

3.下列说法正确的是（  ）

A．是一个无理数

B．函数的自变量x的取值范围是x≥1

C．8的立方根是

D.若点关于x轴对称，则的值为5.

【答案】 D

【解析】选项A: =2是有理数；选项B: 的x的取值范围是x>1; 选项C: 8的立方根是2；选项D:因为关于x轴对称，所以，及,所以选D。

4.下列四个等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；④．正确的是（　　）

A.①②     B.③④      C.②④      D.①③

【答案】D.

   【解析】解：①==4，正确；

②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；

③=4符合二次根式的意义，正确；

④==4≠﹣4，不正确．

①③正确．故选：D．

5. 若 ，则 等于（  ）

A．  B．  C． D．

【答案】D

【解析】 因为=，即

6.将中的移到根号内，结果是（  ）

A．  B.    C.   D.

【答案】A

 【解析】因为≤0，所以=

二. 填空题

7.当x_________时，式子没有意义。

【答案】或x<1

【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为，所以，即无意义时x=10.

8. （江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.

【答案】.

9.已知，求的值为____________

【答案】

【解析】

         即

         ，即原式=

10.若，则化简的结果是__________.

   【答案】3

【解析】因为原式==.

11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规

律,并将第　n(n≥1)个等式写出来________________.

【答案】 .

12. （乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为　 　．

【答案】 3.

【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．

三 综合题

13. 已知，求的值.

【解析】因为，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=

  则.

14. 若时，试化简.

【解析】 因为，

所以原式=

          =.

15.已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．

【解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，

所以，b≥c且c≥b，

所以，b=c，

所以，等式可变为+|a﹣b+1|=0，

由非负数的性质得，，

解得，

所以，c=2，

a+b+c=1+2+2=5，

所以，a+b+c的平方根是±．