高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率一课一练

2.1  直线的倾斜角与斜率(精练)

【题组一 直线的倾斜角】

1．(2021·浙江)直线的倾斜角为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于且不大于，所以倾斜角为．故选：A．

2．(2021·江西景德镇市)直线的倾斜角为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线的斜率，，∴.故选：D

3．(2021·全国高二课时练习)已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为(    )

A．10°，10° B．80°，80°

C．10°，100° D．100°，10°

【答案】C

【解析】∵l1l，∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°，

∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则，

∴，即，∴.故选：C.

4．(2021·全国高二课时练习)(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角可能为(    )

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】BC

【解析】轴正方向对应的直线的倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为或．

故选：BC．

5．(2021·全国高二课时练习)(多选)若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为(    )

A． B． C．1 D．2

【答案】AB

【解析】解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD满足．故选：AB．

6．(2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试)直线的倾斜角的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线的倾斜角为，

当时，；

当时，则．

因为所以综上可得：．故选：A

7．(2021·山东)若斜率，，求倾斜角的范围                 .

【答案】

【解析】，，则，斜率，，

时，，时，，

，

故答案为：．

8．(2021·全国高二课时练习)为何值时，过点，的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？

【答案】当时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为钝角；当时，直线的倾斜角为直角.

【解析】当横坐标相等时，即，即时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角为直角；

当横坐标不相等时，即当时，，

若直线的倾斜角是锐角，则，即，得；

若直线的倾斜角是钝角，则，即，得.

综上，当时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为钝角；当时，直线的倾斜角为角.

【题组二  直线的斜率】

1．(2021·江西吉安市)下列命题正确的是(    )

①直线倾斜角的范围是；

②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；

③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；

④任何一条直线都有倾斜角和斜率．

A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③

【答案】A

【解析】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是，所以是正确的；

对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得，

当时，可得，则，所以是正确的；

对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；

对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．

故选: A.

2．(2021·广西南宁市)过点，的直线的斜率等于1，则m的值为(    )

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

【答案】A

【解析】由题得.故选：A

3．(2021·全国高一课时练习)已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．

【答案】或

【解析】如图所示：

因为直线经过点且与线段相交，

所以直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，

当直线的倾斜角小于时，有；

当直线的倾斜角大于时，有，

由直线的斜率公式可得，

，

所以直线的斜率的取值范围为或.

故答案为：或

4．(2021·全国=课时练习)若三点 ，， 在同一直线上，则实数 _______．

【答案】

【解析】三点 ，， 在同一直线上，

，即，解得.故答案为.

5．(2021·全国高二课时练习)若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.

【答案】

【解析】由题意得，ab+2(a+b)=0，．故答案为：．

6．(2021·陕西西安市)若θ是直线l的倾斜角，且，则l的斜率为        

【答案】-2

【解析】因为，①

所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

所以2sin θcos θ＝，

所以(sin θ－cos θ)2＝，

由于，所以sin θ>0，cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝，②

由①②解得，

所以tan θ＝，即l的斜率为.

7．(2021·全国高二课时练习)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________.

【答案】

【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，又tanα=，0°≤α<180°，所以α=60°，2α=120°，

所以kAC==tan120°=，得m=.

故答案为：

8．(2021·全国高二课时练习)直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.

【答案】90°

【解析】因为l1的斜率k1=，所以倾斜角为60°.

又l1的倾斜角为l1的，所以l2的倾斜角为30°，

所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.

故答案为：90°．

9．(2021·全国高二课时练习)求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

(1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；

(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3,－2)，(6,－2)．

【答案】(1)3，锐角；(2)－1，钝角；(3)k不存在，倾斜角是90°；(4)0，倾斜角为0°．

【解析】(1)，所以倾斜角是锐角；

(2)，所以倾斜角是钝角；

(3)由x1＝x2＝2知：k不存在，倾斜角是90°；

(4)，所以倾斜角为0°．

【题组三  直线平行】

1．(2021·浙江宁波市·高二期末)已知两条不重合直线，，则“”是“，的斜率相等”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为两条直线与不重合，

当与都与x轴垂直时，有，但它们没有斜率，

所以有不一定得到，的斜率相等；

当，的斜率相等时，它们的倾斜角相等，所以它们平行，

即有，的斜率相等一定能够得到，

所以两条不重合直线，，则“”是“，的斜率相等”的必要不充分条件.

故选：B.

2．(2021·北京高三期末)若关于，的方程组，无解，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】可得方程组无解，等价于直线和直线平行，

则，解得.故选：C.

3．(2021·浙江)已知直线，直线，若，则实数______．

【答案】

【解析】∵，有，

∴，解得或，

当时，，，即、为同一条直线；

当时，，，即；

∴，

故答案为：

4．(2021·江西九江市)若直线：与：平行，则实数的值为_________.

【答案】2

【解析】由，得.故答案为：2．

5．(2021·陕西榆林市)已知直线与平行，则__________.

【答案】2

【解析】因为直线与平行，所以，解得.

此时与显然平行.故答案为：.

6．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考(文))已知直线：，：，，若，则___________.

【答案】或

【解析】∵，∴ ，解得：或 ，

检验，当时，：，：满足题意；

当时，：，：满足题意

故答案为：或

7(2021·陕西渭南市)在平面直角坐标系中，若直线与直线将平面划分成3个部分，则________.

【答案】3

【解析】由题可得直线与直线互相平行，

，解得.故答案为：3.

【题组四 直线垂直】

1．(2021·陕西宝鸡市)设直线，，若，则(    )

A． B．或2 C．2 D．0

【答案】B

【解析】由，则，即，解得或故选：B

2．(2021·陕西宝鸡市)已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为

A． B． C．0 D．8

【答案】A

【解析】∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8．

又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选A．

3．(2021·江西省万载中学)直线与直线垂直，则为___________.

【答案】或

【解析】因为直线与直线垂直，

所以，解得或故答案为：或

4．(2021·山西)已知直线和互相垂直，则__．

【答案】0或1

【解析】当时，两直线分别为、，满足垂直这个条件，

当时，两直线的斜率分别为和，由斜率之积为有：，解得．

综上，或．

故答案为：0或1．

5．(2021·浙江)已知直线，. 若，则实数_________；若，则实数_________.

【答案】        

【解析】因为直线，，

所以当时，,解得或，

当时，两直线重合，不合题意，故实数，

当，则，解得，

故答案为.

6．(2021·全国高二课时练习)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是     

【答案】垂直

【解析】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．

故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．

故选：B

7．(2021·铜川市第一中学)直线与直线互相垂直，则实数a的值为_________.

【答案】2或0

【解析】当时，直线为，，满足条件；

当时，直线为，，显然两直线不垂直，不满足；

当且时，因为两直线垂直，所以，解得，

综上或.

故答案为：2或0.

8．(2021·全国高二课时练习)判断下列各对直线是否平行或垂直.

(1)经过，两点的直线，与经过点且斜率为1的直线；

(2)经过，两点的直线，与经过点且斜率为的直线．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)因为，所以，

又因为过点，所以一定不过点，

所以；

(2)因为，所以，

所以.

【题组五 平行垂直在几何中的运用】

1．(2020·全国高二课时练习)已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】为的垂心    ，

又，

直线斜率存在且，

设，则，解得：   

本题正确选项：

2．(2021·全国高二课时练习)以为顶点的三角形是

A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以B点为直角顶点的直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】因为，

，

为直角，故选A.

3．(2021·全国高二课时练习)设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为______.

【答案】且

【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形

当时，直线与直线平行；

当时，直线与轴平行；

当时，直线，及轴都过原点；

要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且

故答案为：且

4．(2021·全国高二课时练习)若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

【答案】－1

【解析】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

5．(2020·全国高二课时练习)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(1，2)，C(－2，3)，则BC边上的高AD所在直线的斜率为________．

【答案】3

【解析】直线BC的斜率为： ，
即 ，则

即答案为3.