人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课时训练

3.2.1 双曲线及其标准方程(精练)

【题组一 双曲线的定义及运用】

1．(2021·江苏苏州中学)双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为(    )

A．2或12 B．2或18 C．18 D．2

【答案】C

【解析】由双曲线定义可知：解得或(舍)∴点到的距离为18，

故选：C.

2．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为(    )

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】由题意，双曲线，可得，则，

因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，

由双曲线的定义可得，

又因为，可得，即，

又由，

可得，解得，

所以的面积为.

故选：C.

3．(2021·永昌县第一高级中学高二期中(文))是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为(    )

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【解析】 

则

故双曲线的两个焦点为,

,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,

则的最大值为

故选：D

4．(2021·永昌县第一高级中学高二期中(理))设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于(    )

A．2 B．2或18 C．18 D．16

【答案】C

【解析】根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以

故选：C

5．(2021·浙江温州·高二期末)设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为(    )

A． B． C．30 D．15

【答案】D

【解析】由，得，则，所以，

设，，则

，所以，

由余弦定理得，

因为，所以，所以，得，

所以，得，

所以，

所以，

所以的面积为，

故选：D

6．(多选)(2021·广东阳江·高二期末)关于，的方程(其中)表示的曲线可能是(    )

A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆

C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆

【答案】BC

【解析】对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，

则，无解，选项A错误；

对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，

则，解得，选项B正确；

对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，

则，所以或，选项C正确；

对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，

则，，

则或，

无解，选项D错误.

故选：BC.

7．(2021·全国高二专题练习)若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．

【答案】18

【解析】由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，

∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13．

△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18．

故答案为：18.

8．(2021·全国高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为________．

【答案】

【解析】由题意得a＝4，b＝3，c＝5.A、C为双曲线的焦点，

∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.

由正弦定理得

.

故答案为：

9．(2021·全国高二专题练习)已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左､右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=________.

【答案】

【解析】双曲线C：x2-y2=2，即，其实半轴长，半焦距c有，

由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a=，而|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=，|PF2|=，而|F1F2|=4，

则cos∠F1PF2==.

故答案为：

10．(2021·全国高二课时练习)设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______

【答案】

【解析】由题意可得双曲线，，，，

得，，，，

又，，

由余弦定理可得：

，

的面积，

故答案为：．

【题组二 求曲线的轨迹方程】

1．(2021·全国高二课时练习)已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.

【答案】.

【解析】设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，

则易知，

∴点的轨迹是双曲线的右支(除去与轴的交点)，且，，

∴，，，

∴顶点的轨迹方程是.

2．(2021·全国高二课时练习)若一个动点到两个定点，的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程.

【答案】答案见解析.

【解析】由题意得.

①当时，动点的轨迹是线段的垂直平分线，方程为；

②当时，由双曲线的定义，可知动点的轨迹是以，为焦点为的双曲线，其中，，，

故动点的轨迹方程为；

③当时，动点的轨迹为两条射线，其方程为与.

3．(2021·上海市新场中学高二期中)已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.

【答案】

【解析】

设点的坐标为

因为

所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线

且

所以

所以点的轨迹方程为：

故答案为：

【题组三 双曲线的标准方程】

1．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．

【答案】x2－＝1

【解析】由题意得

解得

则该双曲线的方程为x2－＝1.

故答案为：x2－＝1

2．(2021·全国高二课时练习)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．

【答案】

【解析】设双曲线方程为，

将点(4，－2)和 代入方程得

解得a2＝8，b2＝4，

所以双曲线的标准方程为.

故答案为：

3．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．

【答案】－y2＝1

【解析】由题意得

⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，

又c＝，所以b＝1，

故双曲线的方程为－y2＝1.

故答案为：－y2＝1.

4．(2021·全国高二课时练习)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．

【答案】－＝1

【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.

设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

故答案：　－＝1.

5．(2021·宁夏吴忠中学高二期中(理))与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.

【答案】

【解析】由椭圆方程可知，焦点坐标是，

设双曲线方程是，

所以，解得：，，

所以双曲线方程是.

故答案为：

6．(2021·全国高二课时练习)与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．

【答案】

【解析】设双曲线的标准方程为，

双曲线过点，，解得或-14(舍去)，

双曲线的标准方程为．

故答案为：