2021学年第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时练习

2.4  圆的方程(精练)

【题组一 圆的方程】

1．(2021·北京高二期末)已知圆的方程，那么圆心和半径分别为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.故选：A

2．(2021·四川遂宁市·高二期末(文))圆心为，半径是的圆标准方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为圆的圆心为，半径为2，所以圆的标准方程为，故选：A.

3．(2021·山西省长治市第二中学校高二期末(文))已知点，，，则外接圆的方程是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0),∴半径=5,∴圆的方程为：

故选:B.

4．(2021·甘肃省永昌县第一高级中学)已知直线平分圆，且与直线垂直，则直线的方程是()

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为直线平分圆，且与直线垂直，所以直线过圆心，斜率为，即直线的方程是．故选：D．

5．(2021·全国高二课时练习)以，为直径的圆的方程是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设圆的标准方程为，

由题意得圆心为，的中点，

根据中点坐标公式可得，，

又，所以圆的标准方程为：

，化简整理得，

所以本题答案为A.

6．(2021·全国高二课时练习)圆关于原点对称的圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】圆的圆心，半径等于，

圆心关于原点对称的圆的圆心，故对称圆的方程为，故选：．

7．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末(文))圆关于原点对称的圆的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由圆的方程知：圆心，半径，圆心关于原点对称的点的坐标为，

则圆关于原点对称的圆的方程为.故选：B.

8．(2021·浙江高二单元测试)圆关于直线称的圆是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】圆心关于直线的对称点为，半径不变，

所求圆的方程为.故选：B

9．(2021·全国高二专题练习)已知，，.

(1)求点到直线的距离；

(2)求的外接圆的方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，

由得直线的方程为.

所以点到直线的距离

(2)设外接圆的方程为，

由题意，得解得

即的外接圆的方程为.

10．(2021·全国高二课时练习)求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.

(1)；(2)；

(3)；(4)．

【答案】(1)圆心，半径，图见解析；

(2)圆心，半径，图见解析；

(3)圆心，半径，图见解析；

(4)圆心，半径，图见解析；

【解析】(1)方程，

所以圆心为，半径为，如图；

(2方程，

所以圆心为，半径为，如图；

(3)方程，

所以圆心为，半径为；不妨设，如图；

(4)方程，

所以圆心为，半径为；不妨设，如图；

【题组二 圆的定义及方程求参】

1．(2021·河北保定市·高二期末)若直线过圆的圆心，则(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】圆，即， 圆的圆心坐标为：，

将代入，即，解得：.故选：D.

2．(2021·全国高二课时练习)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(    )

A．m＜ B．m≤

C．m＜2 D．m≤2

【答案】A

【解析】由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜故选：A.

3．(2021·安徽)若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(    )

A．(1，＋∞) B．

C．(1，＋∞)∪ D．R

【答案】A

【解析】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，

即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.

4．(2021·浙江)已知圆，则(    )

A．圆心C在一条平行于x轴的定直线上运动，且其半径存在最小值

B．圆心C在一条平行于y轴的定直线上运动，且其半径存在最小值

C．圆心C在一条平行于x轴的定直线上运动，且其半径存在最大值

D．圆心C在一条平行于y轴的定直线上运动，且其半径存在最大值

【答案】C

【解析】因为

所以，故圆心坐标为，半径

故圆心坐标在直线上运动，，当时半径取得最大值，故选：C

5．(2021·浙江高二期末)圆的圆心坐标和半径长依次为(    )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】圆化为标准方程为

所以圆心坐标为，半径为故选：D

6．(2021·浙江)已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

因此圆心为，半径为，

当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，

因此圆心到坐标原点的距离为，

即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.

7．(2021·全国高二专题练习)(多选)由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的面积不能为(    )

A．π B．π

C．π D．2π

【答案】ACD

【解析】所给圆的半径为r＝＝．

所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是．故选：ACD

8．(2021·山东)(多选)设有一组圆，下列命题正确的是(    )．

A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上

B．所有圆均不经过点

C．经过点的圆有且只有一个

D．所有圆的面积均为

【答案】ABD

【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；

令，化简得，

∵，∴，无实数根，∴B正确；

由，化简得，

∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．

故选：ABD．

9．(2021·全国高二课时练习)圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：

(1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．

【答案】(1)x2＋(y－1)2＝10；(2)(x－3)2＋(y－2)2＝20.

【解析】(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；

(2)由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，

AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.

由解得

即圆心坐标是C(3，2)．

又r＝|AC|＝＝2.

所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.

10．(2021·浙江高二期末)已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．

(Ⅰ)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)因为命题为真命题，所以，得.

(Ⅱ)由得，即，

因为是的充分不必要条件所以，

所以， 解得.

【题组三 点与圆的位置关系】

1．(2021·山东)已知直线过点，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由可得点在单位圆上，

所以直线和圆有公共点.

所以圆心到直线的距离，即得到.

故选：D

2．(2021·河北张家口市)“”是“点在圆外”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】将化为标准方程，得

当点在圆外时，有，解得

∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.

故选：B.

3．(2021·广西南宁三中)直线与圆有公共点；点在圆外，则是的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若直线与圆有公共点，则，可得，即.

若点在圆外，则，即.

，

因此，是的必要不充分条件.

故选：B.

4．(2021·吉林)若原点在圆的外部，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，

若原点在圆的外部，

则有，则有，

综合可得：；

故选：C.

5．(2021·全国高三专题练习)如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是(   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数恒过定点．将点代入直线可得，即．

由点在圆内部或圆上可得，

即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．

表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．

故选：C．

6．(2021·乌鲁木齐市第二十中学)如果点在圆内部，那么a的取值范围是________.

【答案】

【解析】由题意，解得．故答案为：．

7．(2021·山西)若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．

【答案】(－∞，1)

【解析】因为点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，

所以把点(a＋1，a－1)的坐标代入方程左边的代数式后，该代数式的值应小于0，

即(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1．

故答案为：(－∞，1).

8．(2021·全国高二专题练习)已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．

【答案】答案见解析

【解析】因为圆心是 且经过原点， 所以圆的半径 ,

所以圆的标准方程是

因为 所以 在圆内;

因为 ,所以 在圆上；

因为 ,所以 在圆外.

9．(2021·全国高二课时练习)已知圆的标准方程是，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．

(1)；   

(2)；   

(3)．

【答案】(1)在圆内；(2)在圆外；(3)在圆上.

【解析】(1)，在圆内；

(2)，在圆外；

(3)，在圆上.

【题组四  有关圆的轨迹方程】

1．(2021·白银市第十中学已知圆经过点和，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)设圆心的坐标为，则有，

整理求得，

故圆心为，半径满足，

则圆的方程为；

(2)设线段中点，，

由可知，，

∵点在圆上运动，∴，

∴的轨迹方程为.

2．(2021·全国高二课时练习)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.

(1)求实数m的取值范围；

(2)求该圆的半径r的取值范围；

(3)求圆心C的轨迹方程．

【答案】(1) －＜m＜1(2) 0＜r≤ (3) (x－3)2＝(y＋1)( ＜x＜4)．

【解析】(1)m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0

∴

(2)半径r=

∵ ∴ 时，∴ 0<r≤

(3)设圆心P(x，y)，

则

消去m得：y=4(x-3)2-1

又，所以

3．(2021·全国高二课时练习)已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：

(1)动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

【答案】(1)(2)，N的轨迹是以(1，0)为圆心，以2为半径的圆．

【解析】(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

P ．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，

平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．

由于A(2，0)，且Ｎ为线段AM的中点，所以

， ．所以有， ①

由(1)题知，M是圆上的点，

所以M坐标(x1，y1)满足：②

将①代入②整理，得．

所以N的轨迹是以(1，0)为圆心，以2为半径的圆．

4．(2021·黄石市有色第一中学高二期末)已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______

①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；

选②，直线恒过(1,0)

而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，

所以圆心为(1,0)，可设圆的标准方程为

由圆经过点，得

则圆E的方程为；

选③，：圆E的方程为；

由题意可得，解得，
则圆E的方程为；

(2)因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，

所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.

即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，

由解得，

所以M的轨迹方程为：

【题组五  有关圆的最值】

1．(2020·苏州市吴中区东山中学)若实数、满足，则的最大值是(    )．

A． B．20 C．0 D．

【答案】B

【解析】∵，

∴，

∴点为圆上任意一点，

∵在圆上，

而表示圆上的点到原点距离的平方，

由图可知：最大值为圆的直径的平方，故．故选：B．

2．(2021·浙江高二期末)如果复数z满足，那么的最大值是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．

表示圆上的点与点的距离．

．

的最大值是．

故选：A．

3．(2021·浙江)已知复数z满足，则的最大值为________．

【答案】

【解析】由题意，若对应坐标为，则等价于，

∴的最大值，即圆上一点到的最大距离，

又圆心到的距离为，

∴的最大值为.

故答案为：.

4．(2021·江西抚州市·高一期末)已知点在圆上运动.

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)； (2).

【解析】(1)由题意，点在圆上运动，

设，整理得，则表示点与点连线的斜率，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

又由，解得，所以

所以的最大值为.

(2)设，整理得，

则表示直线在轴上的截距，

当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，

由，解得，所以

所以的最小值为.

5．(2021·广东佛山市·高二期末)在平面直角坐标系中，已知四点，，，.

(1)这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；

(2)求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标.

【答案】(1)四点，，，都在圆上；(2).

【解析】(1)设经过，，三点的圆的方程为，

解得，，

因此，经过，，三点的圆的方程为.

由于，故点也在这个圆上.

因此，四点，，，都在圆上.

(2)因为，当且仅当点在线段上时取等号.

同理，，当且仅当点在线段上时取等号.

因此，当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小.

因为直线的方程为，直线的方程为，

联立解得点的坐标为.