高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率一课一练

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2.1  直线的倾斜角与斜率(精练)【题组一 直线的倾斜角】1．(2021·浙江)直线的倾斜角为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于且不大于，所以倾斜角为．故选：A．2．(2021·江西景德镇市)直线的倾斜角为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】直线的斜率，，∴.故选：D3．(2021·全国高二课时练习)已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为(    )A．10°，10° B．80°，80°C．10°，100° D．100°，10°【答案】C【解析】∵l1l，∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°，∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则，∴，即，∴.故选：C.4．(2021·全国高二课时练习)(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角可能为(    )A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】BC【解析】轴正方向对应的直线的倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为或．故选：BC．5．(2021·全国高二课时练习)(多选)若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为(    )A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD满足．故选：AB．6．(2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试)直线的倾斜角的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，当时，；当时，则．因为所以综上可得：．故选：A7．(2021·山东)若斜率，，求倾斜角的范围                 .【答案】【解析】，，则，斜率，，时，，时，，，故答案为：．8．(2021·全国高二课时练习)为何值时，过点，的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？【答案】当时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为钝角；当时，直线的倾斜角为直角.【解析】当横坐标相等时，即，即时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角为直角；当横坐标不相等时，即当时，，若直线的倾斜角是锐角，则，即，得；若直线的倾斜角是钝角，则，即，得.综上，当时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为钝角；当时，直线的倾斜角为角.【题组二  直线的斜率】1．(2021·江西吉安市)下列命题正确的是(    )①直线倾斜角的范围是；②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角和斜率．A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【答案】A【解析】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是，所以是正确的；对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得，当时，可得，则，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．故选: A.2．(2021·广西南宁市)过点，的直线的斜率等于1，则m的值为(    )A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【解析】由题得.故选：A3．(2021·全国高一课时练习)已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是______．【答案】或【解析】如图所示：因为直线经过点且与线段相交，所以直线的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间，当直线的倾斜角小于时，有；当直线的倾斜角大于时，有，由直线的斜率公式可得，，所以直线的斜率的取值范围为或.故答案为：或4．(2021·全国=课时练习)若三点 ，， 在同一直线上，则实数 _______．【答案】【解析】三点 ，， 在同一直线上，，即，解得.故答案为.5．(2021·全国高二课时练习)若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.【答案】【解析】由题意得，ab+2(a+b)=0，．故答案为：．6．(2021·陕西西安市)若θ是直线l的倾斜角，且，则l的斜率为         【答案】-2【解析】因为，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝，由于，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝，②由①②解得，所以tan θ＝，即l的斜率为.7．(2021·全国高二课时练习)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________.【答案】【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，又tanα=，0°≤α<180°，所以α=60°，2α=120°，所以kAC==tan120°=，得m=.故答案为：8．(2021·全国高二课时练习)直线l1的斜率为k1=，直线l2的倾斜角为l1的，则直线l1与l2的倾斜角之和为________.【答案】90°【解析】因为l1的斜率k1=，所以倾斜角为60°.又l1的倾斜角为l1的，所以l2的倾斜角为30°，所以l1与l2的倾斜角之和为60°+30°=90°.故答案为：90°．9．(2021·全国高二课时练习)求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3,－2)，(6,－2)．【答案】(1)3，锐角；(2)－1，钝角；(3)k不存在，倾斜角是90°；(4)0，倾斜角为0°．【解析】(1)，所以倾斜角是锐角；(2)，所以倾斜角是钝角；(3)由x1＝x2＝2知：k不存在，倾斜角是90°；(4)，所以倾斜角为0°．【题组三  直线平行】1．(2021·浙江宁波市·高二期末)已知两条不重合直线，，则“”是“，的斜率相等”的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为两条直线与不重合，当与都与x轴垂直时，有，但它们没有斜率，所以有不一定得到，的斜率相等；当，的斜率相等时，它们的倾斜角相等，所以它们平行，即有，的斜率相等一定能够得到，所以两条不重合直线，，则“”是“，的斜率相等”的必要不充分条件.故选：B.2．(2021·北京高三期末)若关于，的方程组，无解，则(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】可得方程组无解，等价于直线和直线平行，则，解得.故选：C.3．(2021·浙江)已知直线，直线，若，则实数______．【答案】【解析】∵，有，∴，解得或，当时，，，即、为同一条直线；当时，，，即；∴，故答案为：4．(2021·江西九江市)若直线：与：平行，则实数的值为_________.【答案】2【解析】由，得.故答案为：2．5．(2021·陕西榆林市)已知直线与平行，则__________.【答案】2【解析】因为直线与平行，所以，解得.此时与显然平行.故答案为：.6．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考(文))已知直线：，：，，若，则___________.【答案】或【解析】∵，∴ ，解得：或 ，检验，当时，：，：满足题意；当时，：，：满足题意故答案为：或7(2021·陕西渭南市)在平面直角坐标系中，若直线与直线将平面划分成3个部分，则________.【答案】3【解析】由题可得直线与直线互相平行，，解得.故答案为：3.【题组四 直线垂直】1．(2021·陕西宝鸡市)设直线，，若，则(    )A． B．或2 C．2 D．0【答案】B【解析】由，则，即，解得或故选：B2．(2021·陕西宝鸡市)已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为A． B． C．0 D．8【答案】A【解析】∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8．又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选A．3．(2021·江西省万载中学)直线与直线垂直，则为___________.【答案】或【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或故答案为：或4．(2021·山西)已知直线和互相垂直，则__．【答案】0或1【解析】当时，两直线分别为、，满足垂直这个条件，当时，两直线的斜率分别为和，由斜率之积为有：，解得．综上，或．故答案为：0或1．5．(2021·浙江)已知直线，. 若，则实数_________；若，则实数_________.【答案】         【解析】因为直线，，所以当时，,解得或，当时，两直线重合，不合题意，故实数，当，则，解得，故答案为.6．(2021·全国高二课时练习)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是      【答案】垂直【解析】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故选：B7．(2021·铜川市第一中学)直线与直线互相垂直，则实数a的值为_________.【答案】2或0【解析】当时，直线为，，满足条件；当时，直线为，，显然两直线不垂直，不满足；当且时，因为两直线垂直，所以，解得，综上或.故答案为：2或0.8．(2021·全国高二课时练习)判断下列各对直线是否平行或垂直.(1)经过，两点的直线，与经过点且斜率为1的直线；(2)经过，两点的直线，与经过点且斜率为的直线．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，又因为过点，所以一定不过点，所以；(2)因为，所以，所以.【题组五 平行垂直在几何中的运用】1．(2020·全国高二课时练习)已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】为的垂心    ，又，直线斜率存在且，设，则，解得：    本题正确选项：2．(2021·全国高二课时练习)以为顶点的三角形是A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以B点为直角顶点的直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】因为，，为直角，故选A.3．(2021·全国高二课时练习)设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为______.【答案】且【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形当时，直线与直线平行；当时，直线与轴平行；当时，直线，及轴都过原点；要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且故答案为：且4．(2021·全国高二课时练习)若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．【答案】－1【解析】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.5．(2020·全国高二课时练习)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(1，2)，C(－2，3)，则BC边上的高AD所在直线的斜率为________．【答案】3【解析】直线BC的斜率为： ，
即 ，则即答案为3.