高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课后复习题

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知识点01：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点02：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
知识点03：斜率与倾斜角的联系
【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由图象可得，，
故选：C
知识点04：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．
（3）∵，
∴直线的斜率不存在．
题型01求直线的倾斜角
【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.
题型02直线斜率的定义
【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
题型03斜率与倾斜角变化关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（ ）

A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率；D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
题型04已知两点求斜率
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知．
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围．

题型05已知斜率求参数
【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（ ）
A．1或4B．4C．1或3D．1
【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）过，两点的直线的倾斜角为，求的值．
题型06利用直线斜率处理共线问题
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（ ）
A．2B．C．或D．2或
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.
【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（ ）
A．B．C．6D．12
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．0或5D．0或-5
题型07求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．或
【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型08斜率公式的几何意义的应用
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．30°
C．60°D．90°
2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A．－6B．－4
C．0D．6
6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0°B．1°C．2°D．3°
二、多选题
9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11B．12C．13D．14
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
B能力提升
1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
C综合素养
1．（多选）（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·高二课时练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为_______.
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
课程标准
学习目标
①理解直线的倾斜角与斜率的概念。
②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。
③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。
④会用两点坐标求直线的斜率。
⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在