高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆巩固练习

3.1.2  椭圆的简单几何性质(精练)

【题组一 离心率】

1．(2021·四川雅安中学高二期中(理))椭圆的焦点为，是上一点，若，则该椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选：D.

2．(2021·山东高二期末)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，

外层椭圆可设成 ，

设切线A C的方程为, 与联立得：

，由, 则,

 同理可得,, 则,

因此．

故选：D.

3．(2021·全国高二课时练习)已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，由题意得、、，

设，由得，则①，

又由，中点为，得，则②，

由①②得，即，则，

故选：A.

4．(【新东方】高中数学20210429—002【2020】【高二上】)已知椭圆的右焦点分别为，下顶点分别是，点C在椭圆上，且，则椭圆的离心率为________．

【答案】

【解析】由题意可得，，设，，

因为，则，所以可得：，即

因为在椭圆上，所以，即，

所以离心率，

故答案为：

5．(2021·北京市八一中学高二期末)若椭圆的一个焦点为F，椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3，则椭圆的离心率为________．

【答案】

【解析】由可得，即

因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3

所以，解得

所以椭圆的离心率为

故答案为：

6．(2021·湖北高二期中)已知A、B、P是椭圆上的三个不同的点.O为坐标点，，且，则椭圆C的离心率为______.

【答案】

【解析】因为，点是的重心，设点，，

则点.

因为，在椭圆上，

所以两式相减得，即.

又因为，

所以，则椭圆的离心率.

故答案为：

7．(【新东方】在线数学163高二上)已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．

【答案】

【解析】设，因为在椭圆上，所以，

所以，所以，

因为线段的中点坐标为，，

所以，，且，

所以，所以且，所以，

故答案为：.

8．(【新东方】【2021.5.25】【NB】【高二上】【高中数学】【NB00087】)椭圆，为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率__________．

【答案】

【解析】为椭圆的两个焦点坐标为，

设到直线的距离分别，

，

两边平方整理可得，由，

所以，所以，所以，

故答案为：

【题组二 点与椭圆的位置关系】

1.(2021年广东)已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．

【答案】　∪

【解析】　依题意得，＋>1，解得k<－或k>.

2(2021年广东).已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．

【答案】　9

【解析】　依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋

≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.

【题组三 直线与椭圆的位置关系】

1．(2021·上海市复兴高级中学高二期中)若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.

当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；

当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：

要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，

只需，解得：.

所以实数的取值范围是

故选：C

3．(2021·昆明市外国语学校高二月考(文))椭圆上到直线距离最近的点的坐标是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为：，

由，化为．(*)

，化为，解得．

∵直线在椭圆的下方，故直线系中靠近的直线，

取，代入可得：，解得．

故选：A．

3．(2021·全国高二课前预习)直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(    )

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】C

【解析】解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，

因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.

4．(2021·全国高二课前预习)直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，

设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，

故AB的中点横坐标x0＝＝－.

纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.

5．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _______ .

【答案】

【解析】由，得．

因为直线与椭圆有公共点，所以，

即，解得．

故答案为：．

【题组四 弦长】

1．(2021·江西高安中学高二期中(理))直线被椭圆截得最长的弦为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】联立直线和椭圆，可得，

解得或，

则弦长，

令，则，

当，即，取得最大值，

故选：B

2．(2021·遵义市新蒲新区北师大附属高级中学有限责任公司高二月考(理))已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为(为坐标原点)，求直线的方程．

【答案】(1)，(2).

【解析】(1)由题意可得，解得：

故椭圆C的标准方程为.

(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为

联立，整理得

,

则，故,

因为的面积为,所以，

设，则整理得，解得或(舍去)，即.

故直线的方程为，即.

3．(2021·云南省云天化中学高二期中(理))已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由题意得，，

所以，，椭圆的方程为．

(2)直线的方程为，代入椭圆的方程，

整理得．

由题意，，

设，

则，．

弦长，

点到直线的距离，

所以的面积，

令，则，

当且仅当时取等号．所以，

对应的，可解得，满足题意．

4．(专题11圆锥曲线的方程综合练习-(新教材)2020-2021学年高二数学单元复习(人教A版选择性必修第一册))过椭圆的一个焦点作直线交椭圆于、两点，椭圆中心为，当的面积最大时，求直线的方程.

【答案】或.

【解析】由椭圆的对称性可知过椭圆两个焦点的三角形对称一致，设直线过椭圆右焦点，

当设直线斜率不存在时，

设直线的斜率为，方程为且，，

联立方程组，整理得，

则，，

可得，

到直线的距离为，

所以，

当设直线斜率不存在时，可得、或、，

所以，

综上，当的面积最大时，直线斜率不存在，直线的方程为或.

【题组五 中点弦与点差法】

1．(2021·安徽省宣城中学高二期中(文))已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点，，，则，∴.又∵，∴，

故选：B.

2．(2021·赣州市赣县第三中学高二期中(理))已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题设，则线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得：

即代入直线，得①.

又B为线段的中点，则，

又为椭圆上两点，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得：，即离心率.

故选：C.

3．(2021·北京昌平·临川学校高二期末(理))椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线的方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设弦的两个端点为，

有，，

作差可得，

，

所以，

解得，又直线过，

故直线方程为.

故选：B.

4．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试(理))已知为椭圆与直线相交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值为(    )

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】设

又在椭圆上,所以，

做差得：，即

又为的中点，，且

所以，即的值为

故选：A．

5．(2021·山西晋中·(理))已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.

【答案】

【解析】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，，

则，，

两式相减得，

化简得，即，

直线AB的方程为，

所以直线AB的一般方程为，

故答案为：

6．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F(0，3)，直线4x+3y﹣13＝0与其相交于MN两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是__．

【答案】

【解析】　设椭圆方程为，依题意，

设，，，，可得；，

两式作差化简可得：，

直线与其相交于、两点，中点的横坐标为1，

则，则，，且，解得，，

椭圆的标准方程是：．

故答案为：

7．(2021·玉林市育才中学高二期中(文))已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.

【答案】

【解析】设，，，，

则，，

．

恰为线段的中点，即有，，

，

直线的斜率为，

直线的方程为，

即．

由于在椭圆内，故成立．

故答案为：．

8．(2021·上海市新场中学高二期中)若椭圆的弦被点平分，则弦所在直线的斜率为__.

【答案】

【解析】设直线与椭圆的两交点坐标为，

则，，

两式作差可得，

因为弦被点平分，

所以，，

所以即，即，

所以直线的斜率为，

故答案为：.

9．(2021·陕西西北工业大学附属中学)已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________；

【答案】

【解析】由题意可得，整理可得，

设，

则，

两式相减可得，

的中点为，，

则直线斜率.

故答案为：.

10．(2021·黔西南州同源中学高二期末(文))已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．

【答案】

【解析】设，因为在椭圆上，所以，

所以，所以，

因为线段的中点坐标为，，

所以，，且，

所以，所以且，所以，

故答案为：.

11．(2021·安徽省宣城中学(文))椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为__________．

【答案】

【解析】设弦的两个端点、，

则，则，

所以，所以，

由点斜式可得直线的方程为，即.

故答案为：

12．(2021·宁夏吴忠中学高二月考(理))椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为_______.

【答案】

【解析】设过点的直线与椭圆交于两点，斜率为，

则①，②，

－②得，

又，

所以

故答案为：．

13．(2021·北京海淀·中关村中学高二期末)已知椭圆过点，且离心率为．过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设为的中点，当直线的斜率为1时，求中点的坐标；

(3)当的面积为时，求直线的方程．

【答案】(1)；(2)；(3)或．

【解析】(1)因为点在椭圆上，所以，

因为椭圆的离心率为，所以，即，

解得，

所以

所以椭圆的方程为．

(2)当直线的斜率为1时，直线的方程为．

由得，

设．

则，

所以，代入直线得．

所以中点的坐标为．

(3)依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为．

由得，

所以，则

(，原点到直线的距离)

所以，解得或，符合

所以或．

【题组六 最值】

1．(2021·广西高二期末(理))已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设椭圆的左焦点为，

在椭圆中，，，则，

由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，

所以，四边形为平行四边形，

所以，，由椭圆的定义可得，

，，即，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故选：D.

2．(2021·安徽(理))已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得(点为坐标原点)为正三角形，则椭圆的焦距为(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接

因为为等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因为，所以．因为的最小值为，所以，所以，椭圆的焦距为

故选：D

3．(2021·江苏省南通中学高二期末)已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，

延长与交于点，则是的角平分线，

由可得与垂直，

可得为等腰三角形，故为的中点，

由于为的中点，

则为的中位线，故，

由于，所以，

所以，

问题转化为求的最值，

而的最小值为，的最大值为，即的值域为，

故当或时，取得最大值为

，

当时，在轴上，此时与重合，

取得最小值为0，又由题意，最值取不到，

所以的取值范围是，

故选：A.

4．(2021·黄梅国际育才高级中学高二月考)已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，

则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8

∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．

当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，

此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，

解得b，

故选D．

5．(2021·江门市第二中学高二月考)设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为(    )

A． B．6 C． D．8

【答案】D

【解析】设为椭圆的另外一个焦点

则由椭圆的定义可得

当三点共线时，

当三点不共线时，

所以当三点共线时，的周长取得最大值8

故选：D

6．(2021·横峰中学高二月考(文))已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆的定义可得的周长为，

，则，

则面积的最大值为，

故选：B.

7．(2021·上海闵行中学高二期末)P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.

【答案】4

【解析】由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，

故答案为：4.

8．(2021·云南高二期末(文))已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为6，则的值是____________，椭圆的离心率为____________．

【答案】       

【解析】由题意得；由椭圆的定义知，

所以，又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以，解得，故，，离心率．

故答案为：；