人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率优质教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率优质教学设计，共11页。教案主要包含了情境导学，探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。
两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
1.教学重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件
2.教学难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直
多媒体
本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受
课程目标
学科素养
A. 理解两条直线平行与垂直的条件.
B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.
1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件
2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直
3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题
4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情境导学
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
二、探究新知
（一）、两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:
前提条件
α1=α2≠90°
α1=α2=90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图 示
点睛：若没有指明l1,l2不重合,那么k1=k2⇔l1∥l2,或l1与l2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.
1.对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?
答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,
有可能两直线斜率均不存在.
2.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
3．思考辨析
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
答案： (1)× 也可能重合．(2)× l1∥l2，其斜率不一定存在．
(3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√
（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系
对应
关系
l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1
l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.
图示
点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.
4.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 .
解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.
答案:l1⊥l2
三、典例解析
例1 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);
(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).
思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.
解:(1)k1=1-(-2)2-(-1)=1,k2=-1-4-1-3=54,k1≠k2,l1与l2不平行.
(2)k1=1,k2=2-12-1=1,k1=k2,
故l1∥l2或l1与l2重合.
(3)k1=0-11-0=-1,k2=0-32-(-1)=-1,则有k1=k2.
又kAM=3-1-1-0=-2≠-1,
则A,B,M不共线.故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.
延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 .
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m≠-2,且m≠-1时,kAB=4-mm-(-2)=4-mm+2,
kMN=3-1m+2-1=2m+1.
因为AB∥MN,所以kAB=kMN,
即4-mm+2=2m+1,解得m=0或m=1.
当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.
综上,m的值为0或1.
答案:0或1
判断两直线是否平行的步骤
例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.
(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.
解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.
由l1⊥l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.
综上所述,a的值为0或5.
两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
跟踪训练1 已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .
解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,
即0-3x+1·0-2x-4=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
答案:(1,0)或(2,0)
例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.
解:由斜率公式得kOP=t-01-0=t,
kRQ=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,
kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,
从而OP∥RQ,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,
故四边形OPQR为矩形.
延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”
由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)=13,kCD=0-3-3-6=13,kAD=0-3-3-(-4)=-3,kBC=3-56-2=-12.
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD=13×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,
延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”
解:因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点.
设R(x,y),则由中点坐标公式知0+1-2t2=1+x2,0+2+t2=t+y2,
解得x=-2t,y=2.所以R点的坐标是(-2t,2).
利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤
eq \x(描点)→eq \x(在坐标系中描出给定的点)
↓
eq \x(猜测)→eq \x(根据描出的点，猜测图形的形状)
↓
eq \x(求斜率)→eq \x(根据给定点的坐标求直线的斜率)
↓
eq \x(结论)→eq \x(由斜率之间的关系判断形状)
点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．
金题典例 已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.
思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,
则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,
∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.
又∵kAD=kBC,∴y-3x=0,即y=3.此时AB与CD不平行.
故所求点D的坐标为(3,3).
②若AD是直角梯形的直角边,
则AD⊥AB,AD⊥CD,kAD=y-3x,kCD=yx-3.
由于AD⊥AB,则y-3x·3=-1.
又AB∥CD,∴yx-3=3.
解上述两式可得x=185,y=95,此时AD与BC不平行.
故所求点D的坐标为185,95.
综上可知,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或185,95.
反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.
通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线平行与垂直问题，引导学生回顾初中两直线平行与垂直的几何知识，为探究运用斜率判断直线平行和垂直作知识上的准备。
由坐标系中的直线，让学生理解直线倾斜角和斜率的概念。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用直线斜率判断两直线平行和垂直的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
通过典例解析，进一步让理解运用直线斜率判断直线平行u垂直的方法，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。
三、达标检测
1．下列说法正确的是( )
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
解析：A中，l1与l2可能重合；B中，l1，l2可能存在其一没斜率；C中，直线也可能与y轴重合；D正确，选D.
答案 D
2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
A.1aB.aC.-1aD.-1a或不存在
解析:若a≠0,则l2的斜率为-1a;若a=0,则l2的斜率不存在.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为 .
解析:由题意,得a-(-1)3-(-2)=1,即a=4.
答案:4
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,
则实数m= .
解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得AD⊥BC,
则有kAD·kBC=-1,所以有1-2m-2·3-14-0=-1,解得m=52.
答案:52
5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
解:kAB=13,kBC=-12,kCD=13,kAD=-3, 所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。