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人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数导学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数导学案及答案，共20页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，第1课时，第二学时等内容，欢迎下载使用。
对数函数
【学习目标】
（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
（2）知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）．
（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
【学习重难点】
对数的概念与对数函数．
【学习过程】
【第1课时】
一、自主学习
知识点一：对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二：对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域（0，＋∞）
值域R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
知识点三：反函数
一般地，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
教材解难：
1．教材P130思考
根据指数与对数的关系，由y＝（x≥0）得到x＝logy（0＜y≤1）．如图，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与y＝（x≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y0）．这就说明，对于任意一个y∈（0，1]，通过对应关系x＝logy，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝logy，y∈（0，1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．
2．教材P132思考
利用换底公式，可以得到y＝logx＝－log2x．因为点（x，y）与点（x，－y）关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P（x，y）关于x轴的对称点P1（x，－y）都在y＝logx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象．
3．教材P138思考
一般地，虽然对数函数y＝logax（a＞1）与一次函数y＝kx（k＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax（a＞1）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．
4．4．1对数函数的概念
基础自测：
1．下列函数中是对数函数的是（ ）
A．y＝logx
B．y＝log（x＋1）
C．y＝2logx
D．y＝logx＋1
解析：形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．函数y＝ln（1－x）的定义域为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln（1－x）的定义域为[0，1）．
答案：B
3．函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（ ）
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；
又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．
解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．
答案：[1，log23]
二、素养提升
题型一：对数函数的概念
例1：下列函数中，哪些是对数函数？
（1）y＝loga（a＞0，且a≠1）；
（2）y＝log2x＋2；
（3）y＝8log2（x＋1）；
（4）y＝logx6（x＞0，且x≠1）；
（5）y＝log6x．
解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
用对数函数的概念例如y＝logax（a＞0且a≠1）来判断．
方法归纳：
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1：若函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
答案：1
对数函数y＝logax系数为1．
题型二：求函数的定义域（教材P130例1）
例2：求下列函数的定义域：
（1）y＝log3x2；
（2）y＝loga（4－x）（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga（4－x）的定义域是{x|x＜4}．
真数大于0．
教材反思：
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2：求下列函数的定义域：
（1）y＝lg（x＋1）＋；
（2）y＝log（x－2）（5－x）．
解析：（1）要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．
（2）要使函数有意义，需∴
∴定义域为（2，3）∪（3，5）．
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
题型三：对数函数的图象问题
例3：（1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的（ ）
（2）已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________．
（3）如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
解析：（1）A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
（2）依题意可知定点A（－2，－1），f（－2）＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f（x）＝3x－，f（log32）＝3－＝2－＝．
（3）由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1．
过点（0，1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c．
答案：（1）C
（2）
（3）b＞a＞1＞d＞c
（1）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
（2）依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
（3）沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳：
解决对数函数图象的问题时要注意：
（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1．
（3）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点：（1，0），（a，1）和．
跟踪训练3：
（1）如图所示，曲线是对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
（2）函数y＝loga|x|＋1（0＜a＜1）的图象大致为（ ）
解析：（1）方法一：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A．
方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，．故选A．
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1．
（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A．
先去绝对值，再利用单调性判断．
答案：（1）A
（2）A
三、学业达标
（一）选择题
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga（2a）（a＞0，且a≠1）
C．y＝logax2（a＞0，且a≠1）
D．y＝lnx
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），则2＝loga4即a2＝4得a＝2．故所求解析式为y＝log2x．
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（ ）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（－2，1）
D．[－2，1）
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象只能是下图中的（ ）
解析：由函数y＝loga（－x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C．又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
（二）填空题
5．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5．
答案：5
6．已知函数f（x）＝log3x，则f＋f（15）＝________．
解析：f＋f（15）＝log3＋log315＝log327＝3．
答案：3
7．函数f（x）＝loga（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝loga1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．
答案：（2，0）
（三）解答题
8．求下列函数的定义域：
（1）y＝log3（1－x）；
（2）y＝；
（3）y＝log7．
解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，
∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．
（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（3）由＞0，得x＜．
∴函数y＝log7的定义域为．
9．已知f（x）＝log3x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．
解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示
（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，
解得x＝2．
由图象知，当0＜a＜2时，
恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．
尖子生题库：
10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2（x＋1），如图．
定义域为（－1，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0，0）．
【第二学时】
一、素养提升
题型一：比较大小（教材P133例3）
例1：比较下列各题中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0．31.8，log0．32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
（2）log0．31.8和log0．32.7可看作函数y＝log0．3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0．3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0．31.8＞log0．32.7．
（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．
构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1：（1）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
（2）比较下列各组值的大小：
①log0.5，log0.6．
②log1.51.6，log1.51.4．
③log0.57，log0.67．
④log3π，log20.8．
解析：（1）a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．
（2）①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6．
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57．
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．
答案：（1）C
（2）①log0.5＞log0.6．
②log1.51.6＞log1.51.4．
③log0.67＜log0.57．
④log3π＞log20.8．
（1）选择中间量0和1，比较大小．
（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型二：解对数不等式
例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；
（2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．
解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得解得x＞1，
即x的取值范围是（1，＋∞）．
（2）loga（x－1）≥loga（3－x），
当a＞1时，有解得2≤x＜3．
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2．
综上可得，
当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2，3）；
当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1，2]．
答案：（1）（1，＋∞）
（2）答案见解析
（1）利用函数y＝log0．7x的单调性求解．
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳：
两类对数不等式的解法：
（1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞g（x）＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜g（x）．
（2）形如logaf（x）＜b的不等式可变形为logaf（x）＜b＝logaab．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜ab．
跟踪训练2：（1）满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
（2）根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1．5（2a）＞log1．5（a－1）；
②log0．5（a＋1）＞log0．5（3－a）．
解析：（1）因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3．所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
（2）①函数y＝log1．5x在（0，＋∞）上是增函数．
因为log1．5（2a）＞log1.5（a－1），所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1．
②函数y＝log0.5x在（0，＋∞）上是减函数，因为log.0.5（a＋1）＞log0.5（3－a），
所以解得－1＜a＜1．即实数a的取值范围是－1＜a＜1．
答案：（1）{x|0＜x＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1）
（1）log33＝1．
（2）由对数函数的单调性求解．
题型三：对数函数性质的综合应用
例3：已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．
解析：（1）由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1，3）．
（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]
＝loga（－x2＋2x＋3）
＝loga[－（x－1）2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝．
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．
综上可知，a＝．
真数大于0．
分0＜a＜1，a＞1两类讨论．
方法归纳：
1．解答y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．
②判断y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf（x）的函数的单调性判断
首先要确保f（x）＞0，
当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
证明：（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]
＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（2）设0＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x）－log2（1＋x）＝log2，
由于0＜x1＜x2，则0＜x＜x，
则0＜1＋x＜1＋x，
所以0＜＜1．
又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
所以log2＜0．
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
（1）函数是偶函数，
f（－x）＝f（x）．
（2）用定义法证明函数是增函数．
题型四：几类函数模型的增长差异
例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2018x
B．y＝x2018
C．y＝log2018x
D．y＝2018x
（2）四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：（1）A
（2）y2
（1）由题意，指数函数增长速度最快．
（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→→
跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．
解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．
由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
二、学业达标
（一）选择题
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，
所以b＜a＜c，故选B．
答案：B
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y2＞y3＞y1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3．
答案：B
3．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．∪（1，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．（0，1）
解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．
由loga＜1＝logaa，得0＜a＜．
综上所述，0＜a＜或a＞1．
答案：B
4．函数y＝log0．4（－x2＋3x＋4）的值域是（ ）
A．（0，2]
B．[－2，＋∞）
C．（－∞，－2]
D．[2，＋∞）
解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0．4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0．4（－x2＋3x＋4）≥log0．4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．
答案：B
（二）填空题
5．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．
解析：当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1．∴a＝3符合题意．
当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f（2）＝1．
则loga2＝1，∴a＝2＞1．∴a＝2不合题意，综上知a＝3．
答案：3
6．已知函数f（x）＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
解析：由奇函数得f（x）＝－f（－x），
log2＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1．
答案：1
7．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
解析：若f（x），g（x）均为增函数，则则1＜a＜2；
若f（x），g（x）均为减函数，则无解．
答案：（1，2）
（三）解答题
8．比较下列各组对数值的大小：
（1）log1.6与log2.9；
（2）log21.7与log23.5；
（3）log3与log3；
（4）log0.3与log20.8．
解析：（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，
∴log1.6＞log2.9．
（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，
∴log21.7＜log23.5．
（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，
∴log3＜log3．
（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，
∴log0.3＞log20.8．
9．已知loga（2a＋3）＜loga3a，求a的取值范围．
解析：（1）当a＞1时，原不等式等价于解得a＞3．
（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜1．
综上所述，a的范围是（0，1）∪（3，＋∞）．
尖子生题库：
10．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（3）对于f（x），当x∈（－1，1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．
解析：（1）令t＝logax（t∈R），
则x＝at，且f（t）＝，
所以f（x）＝（ax－a－x）（x∈R）；
（2）因为f（－x）＝（a－x－ax）
＝－f（x），
且x∈R，所以f（x）为奇函数．
当a＞1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到＞0，
所以这时f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．
所以f（x）在R上为增函数；
（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，
所以f（1－m）＜f（2m－1）．
因为f（x）在（－1，1）上为增函数，
所以
解之，得＜m＜1．
即m的取值范围是．
对数函数
【学习目标】
（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
（2）知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）．
（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
【学习重难点】
对数的概念与对数函数．
【学习过程】
【第1课时】
一、自主学习
知识点一：对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二：对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域（0，＋∞）
值域R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
知识点三：反函数
一般地，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
教材解难：
1．教材P130思考
根据指数与对数的关系，由y＝（x≥0）得到x＝logy（0＜y≤1）．如图，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与y＝（x≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y0）．这就说明，对于任意一个y∈（0，1]，通过对应关系x＝logy，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝logy，y∈（0，1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．
2．教材P132思考
利用换底公式，可以得到y＝logx＝－log2x．因为点（x，y）与点（x，－y）关于x轴对称，所以y＝log2x图象上任意一点P（x，y）关于x轴的对称点P1（x，－y）都在y＝logx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象．
3．教材P138思考
一般地，虽然对数函数y＝logax（a＞1）与一次函数y＝kx（k＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax（a＞1）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．
4．4．1对数函数的概念
基础自测：
1．下列函数中是对数函数的是（ ）
A．y＝logx
B．y＝log（x＋1）
C．y＝2logx
D．y＝logx＋1
解析：形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．函数y＝ln（1－x）的定义域为（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln（1－x）的定义域为[0，1）．
答案：B
3．函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（ ）
解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；
又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．
答案：A
4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．
解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，
所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．
答案：[1，log23]
二、素养提升
题型一：对数函数的概念
例1：下列函数中，哪些是对数函数？
（1）y＝loga（a＞0，且a≠1）；
（2）y＝log2x＋2；
（3）y＝8log2（x＋1）；
（4）y＝logx6（x＞0，且x≠1）；
（5）y＝log6x．
解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
用对数函数的概念例如y＝logax（a＞0且a≠1）来判断．
方法归纳：
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1：若函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝________．
解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
答案：1
对数函数y＝logax系数为1．
题型二：求函数的定义域（教材P130例1）
例2：求下列函数的定义域：
（1）y＝log3x2；
（2）y＝loga（4－x）（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga（4－x）的定义域是{x|x＜4}．
真数大于0．
教材反思：
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2：求下列函数的定义域：
（1）y＝lg（x＋1）＋；
（2）y＝log（x－2）（5－x）．
解析：（1）要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．
（2）要使函数有意义，需∴
∴定义域为（2，3）∪（3，5）．
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
题型三：对数函数的图象问题
例3：（1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的（ ）
（2）已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________．
（3）如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．
解析：（1）A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
（2）依题意可知定点A（－2，－1），f（－2）＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f（x）＝3x－，f（log32）＝3－＝2－＝．
（3）由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1．
过点（0，1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c．
答案：（1）C
（2）
（3）b＞a＞1＞d＞c
（1）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
（2）依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
（3）沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳：
解决对数函数图象的问题时要注意：
（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1．
（3）牢记特殊点．对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点：（1，0），（a，1）和．
跟踪训练3：
（1）如图所示，曲线是对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
（2）函数y＝loga|x|＋1（0＜a＜1）的图象大致为（ ）
解析：（1）方法一：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A．
方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，．故选A．
增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1．
（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A．
先去绝对值，再利用单调性判断．
答案：（1）A
（2）A
三、学业达标
（一）选择题
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga（2a）（a＞0，且a≠1）
C．y＝logax2（a＞0，且a≠1）
D．y＝lnx
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），则2＝loga4即a2＝4得a＝2．故所求解析式为y＝log2x．
答案：A
3．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（ ）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（－2，1）
D．[－2，1）
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：D
4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象只能是下图中的（ ）
解析：由函数y＝loga（－x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C．又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．
答案：B
（二）填空题
5．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知
，∴a＝5．
答案：5
6．已知函数f（x）＝log3x，则f＋f（15）＝________．
解析：f＋f（15）＝log3＋log315＝log327＝3．
答案：3
7．函数f（x）＝loga（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝loga1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．
答案：（2，0）
（三）解答题
8．求下列函数的定义域：
（1）y＝log3（1－x）；
（2）y＝；
（3）y＝log7．
解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，
∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．
（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（3）由＞0，得x＜．
∴函数y＝log7的定义域为．
9．已知f（x）＝log3x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．
解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示
（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，
解得x＝2．
由图象知，当0＜a＜2时，
恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．
尖子生题库：
10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？
解析：y＝log2xy＝log2（x＋1），如图．
定义域为（－1，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0，0）．
【第二学时】
一、素养提升
题型一：比较大小（教材P133例3）
例1：比较下列各题中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0．31.8，log0．32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，且a≠1）．
解析：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
（2）log0．31.8和log0．32.7可看作函数y＝log0．3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0．3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0．31.8＞log0．32.7．
（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．
构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1：（1）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
（2）比较下列各组值的大小：
①log0.5，log0.6．
②log1.51.6，log1.51.4．
③log0.57，log0.67．
④log3π，log20.8．
解析：（1）a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．
（2）①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6．
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57．
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．
答案：（1）C
（2）①log0.5＞log0.6．
②log1.51.6＞log1.51.4．
③log0.67＜log0.57．
④log3π＞log20.8．
（1）选择中间量0和1，比较大小．
（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型二：解对数不等式
例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；
（2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．
解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得解得x＞1，
即x的取值范围是（1，＋∞）．
（2）loga（x－1）≥loga（3－x），
当a＞1时，有解得2≤x＜3．
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2．
综上可得，
当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2，3）；
当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1，2]．
答案：（1）（1，＋∞）
（2）答案见解析
（1）利用函数y＝log0．7x的单调性求解．
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳：
两类对数不等式的解法：
（1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞g（x）＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜g（x）．
（2）形如logaf（x）＜b的不等式可变形为logaf（x）＜b＝logaab．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜ab．
跟踪训练2：（1）满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
（2）根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1．5（2a）＞log1．5（a－1）；
②log0．5（a＋1）＞log0．5（3－a）．
解析：（1）因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3．所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
（2）①函数y＝log1．5x在（0，＋∞）上是增函数．
因为log1．5（2a）＞log1.5（a－1），所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1．
②函数y＝log0.5x在（0，＋∞）上是减函数，因为log.0.5（a＋1）＞log0.5（3－a），
所以解得－1＜a＜1．即实数a的取值范围是－1＜a＜1．
答案：（1）{x|0＜x＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1）
（1）log33＝1．
（2）由对数函数的单调性求解．
题型三：对数函数性质的综合应用
例3：已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．
解析：（1）由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1，3）．
（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]
＝loga（－x2＋2x＋3）
＝loga[－（x－1）2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝．
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．
综上可知，a＝．
真数大于0．
分0＜a＜1，a＞1两类讨论．
方法归纳：
1．解答y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．
②判断y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf（x）的函数的单调性判断
首先要确保f（x）＞0，
当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
证明：（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]
＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（2）设0＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x）－log2（1＋x）＝log2，
由于0＜x1＜x2，则0＜x＜x，
则0＜1＋x＜1＋x，
所以0＜＜1．
又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
所以log2＜0．
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
（1）函数是偶函数，
f（－x）＝f（x）．
（2）用定义法证明函数是增函数．
题型四：几类函数模型的增长差异
例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2018x
B．y＝x2018
C．y＝log2018x
D．y＝2018x
（2）四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：（1）A
（2）y2
（1）由题意，指数函数增长速度最快．
（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→→
跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．
解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．
由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
二、学业达标
（一）选择题
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，
所以b＜a＜c，故选B．
答案：B
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y2＞y3＞y1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3．
答案：B
3．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．∪（1，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．（0，1）
解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．
由loga＜1＝logaa，得0＜a＜．
综上所述，0＜a＜或a＞1．
答案：B
4．函数y＝log0．4（－x2＋3x＋4）的值域是（ ）
A．（0，2]
B．[－2，＋∞）
C．（－∞，－2]
D．[2，＋∞）
解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0．4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0．4（－x2＋3x＋4）≥log0．4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．
答案：B
（二）填空题
5．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．
解析：当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1．∴a＝3符合题意．
当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f（2）＝1．
则loga2＝1，∴a＝2＞1．∴a＝2不合题意，综上知a＝3．
答案：3
6．已知函数f（x）＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
解析：由奇函数得f（x）＝－f（－x），
log2＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1．
答案：1
7．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
解析：若f（x），g（x）均为增函数，则则1＜a＜2；
若f（x），g（x）均为减函数，则无解．
答案：（1，2）
（三）解答题
8．比较下列各组对数值的大小：
（1）log1.6与log2.9；
（2）log21.7与log23.5；
（3）log3与log3；
（4）log0.3与log20.8．
解析：（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，
∴log1.6＞log2.9．
（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，
∴log21.7＜log23.5．
（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，
∴log3＜log3．
（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，
∴log0.3＞log20.8．
9．已知loga（2a＋3）＜loga3a，求a的取值范围．
解析：（1）当a＞1时，原不等式等价于解得a＞3．
（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜1．
综上所述，a的范围是（0，1）∪（3，＋∞）．
尖子生题库：
10．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（3）对于f（x），当x∈（－1，1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．
解析：（1）令t＝logax（t∈R），
则x＝at，且f（t）＝，
所以f（x）＝（ax－a－x）（x∈R）；
（2）因为f（－x）＝（a－x－ax）
＝－f（x），
且x∈R，所以f（x）为奇函数．
当a＞1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到＞0，
所以这时f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．
所以f（x）在R上为增函数；
（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，
所以f（1－m）＜f（2m－1）．
因为f（x）在（－1，1）上为增函数，
所以
解之，得＜m＜1．
即m的取值范围是．
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