专训11.2.1.3与折叠有关的三角形内角和问题八年级上册考点专训（人教版）

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专训11.2.3与折叠有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．如图，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，故可得出∠3+∠4的度数，根据四边形的内角和等于360°即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，∠2=80°，
∴∠C=180°-60°-70°=50°，
∴∠3+∠4=∠A+∠B=60°+70°=130°，
∴∠1=360°-（∠A+∠B）-（∠3+∠4）-∠2=360°-130°-130°-80°=20°．
故选：A．

【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
2．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（ ）

A．42° B．66° C．69° D．77°
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC可得答案．
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
3．如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．
【详解】
∵∠ABD=18°，∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=90°-18°=72°，
由折叠可得∠DBE=∠DBC=72°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　）

A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【答案】D
【分析】
设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵，
∴，，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，
∴，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．

【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
5．如图，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，则__________．

【答案】
【分析】
利用折叠性质得到，然后根据三角形外角性质求解．
【详解】
解：纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了折叠的性质．
6．如图，在中，，，将三角形沿对折，使点与边上的点重合．若，则的度数为____________．

【答案】40°
【分析】
设∠EFD=2∠AED=2x，由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=∠CEF，由三角形内角和定理得出∠CEF=150°-2x，再由∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，列出方程即可求出∠AED=40°．
【详解】
解：设∠EFD=2∠AED=2x．
由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠DEF=∠CEF，
在△DEF中，∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-30°-2x=150°-2x，
∴∠CEF=150°-2x，
∵∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，
∴150°-2x+150°-2x+x=180°，
解得x=40°，
即∠AED=40°，
故答案为40°．
【点睛】
本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．
7．如图，中，于点D，于点E，与交于点O，将沿折叠，使点C与点O重合，若，则__________．

【答案】90
【分析】
根据折叠的性质得到对应角相等，推出，根据垂直的定义得到，利用平角的定义得到，即可求出结果．
【详解】
解：由折叠性质可知，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平角的定义，互余的定义，解题的关键是利用相应的定义得到角之间的关系．
8．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是________．

【答案】∠1+∠2=2∠A
【分析】
延长BE与CD相交于点A′，设∠AED=x，∠ADE=y，根据折叠的性质得∠A′ED=x，∠A′DE=y，根据三角形的内角和定理以及平角的定义，得出∠A与∠1+∠2的关系．
【详解】
解：延长BE与CD相交于点A′，如图，

设∠AED=x，∠ADE=y，
∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠A′ED=x，∠A′DE=y，
∵∠A+x+y=180，∠1+2x=180，∠2+2y=180，
∴∠1+∠2+2（180∠A）=2×180，
∴∠1+∠22∠A=0，
∴2∠A=∠1+∠2，
故答案为：∠1+∠2=2∠A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．
9．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落在点A′，若∠B＝40°，则∠A′DB的大小为_____．

【答案】100°．
【分析】
根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B＝40°，继而得∠A′DE＝∠ADE＝40°，最后由平角的定义得出答案．
【详解】
解：∵∠B＝40°，△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠ADE＝∠B＝40°，
∴∠A′DE＝∠ADE＝40°，
∴∠A′DB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查三角形的翻折问题，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．

【答案】80°
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．

故答案为：80°．
【点睛】
本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于_______．

【答案】
【分析】
根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC，再利用平角的定义，即可得出答案．
【详解】
解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，
∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度数是解题关键．
12．如图，把沿线段折叠，使点A落在线段上的点F处，，若，则__________度．

【答案】32
【分析】
根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．
【详解】
解：由折叠可知：
∠AEF=2∠AED=2∠FED，
∵∠A+∠B=106°，
∴∠C=180°-106°=74°，
∵BC∥DE，
∴∠AED=∠C=74°，
∴∠AEF=2∠AED=148°，
∴∠FEC=180°-∠AEF=32°．
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理和平行线的性质．
13．如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点重合，则的度数为______．

【答案】86°
【分析】
由三角形内角和定理求出∠B+∠C=47°；证明∠ADE+∠AED=2(∠B+∠C)=94°，即可解决问题．
【详解】
∵
∴∠B+∠C=180°-133°=47°
由折叠的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠ADE=2∠B，∠AED=2∠C
∴=180°-（2(∠B+∠C)）=180°-94°=86°
故答案为：86°
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、三角形的内角和定理等知识；解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质以及三角形的内角和定理．
14．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠的度数为____度．

【答案】80°
【分析】
先根据三角形的内角和定理易计算出∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，根据折叠的性质得到∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可计算出∠EAC，然后根据+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到=∠EAC．
【详解】
设∠3=3x，则∠1=28x，∠2=5x，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴28x+5x+3x=180°，解得x=5°，
∴∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，
∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的，
∴∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，
∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-140°-140°=80°，
又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°形成的，
∴∠ACD=∠E=15°，
而+∠E=∠EAC+∠ACD，
∴∠α=∠EAC=80°．
故答案为80°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及周角的定义．
15．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=260°，则∠A = _________°．

【答案】40
【分析】
先根据图形翻折变换的性质和平角、周角的定义得出∠ADE+∠AED，再根据三角形三角形内角和为180°进行解答即可．
【详解】
解：∵∠1+∠2=260°，
∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED=180°+360°-260°=280°，
由折叠的性质可得∠ADE+∠AED=140°，
∴∠A=180°-140°=40°．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和为180°，熟知以上知识是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝__．

【答案】20º
【分析】
根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：∵△ABD沿着AD翻折得到△AED，∠BAD=∠ABC=40°，
∴∠ADC=40°+40°=80°，
∴∠ADE=∠ADB=180°-40°-40°=100°，
∴∠CDE=100°-80°=20°，
故答案为：20º
【点睛】
此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．
17．如图，乐乐将分别沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为________．

【答案】41°
【分析】
根据折叠得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，利用求出，再根据三角形的内角和求出的度数.
【详解】
由折叠得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，
∵,
∴，
∴=，
故答案为：41°.
【点睛】
此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到是解题的关键.
18．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝_____°．

【答案】72
【分析】
由平行线的性质得∠DEF＝∠BFE＝72°，然后结合折叠的性质求得∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°，然后求得∠HFM=∠MFN=36°，∠HMF=∠NMF=54°，从而求解．
【详解】
解：∵AD∥BC
∴∠DEF＝∠BFE＝72°
∴∠EFC=180°-72°=108°
由折叠性质可得：∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°
∴∠HFM=∠MFN=∠EFH-∠BFE=108°-72°=36°
∴∠HMF=∠NMF=90°-36°=54°
∴∠GMN＝180°-54°×2=72°
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
三、解答题
19．已知，在直角三角形中，，是上一点，且．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．
①若，求的度数；
②试求与的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B
【分析】
（1）根据直角三角形中两锐角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；
（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②同①的方法，进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=∠ACD，则∠BCD=90°-∠ACD，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=∠B，
∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，．


（1）求的度数；
（2）若保持的一边与平行，求的度数．
【答案】（1）60°；（2）45°或30°
【分析】
（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度数可求出答案．
（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA=90°，再根据折叠可得出∠ADE=45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．
【详解】
解：（1）由折叠可知，
在中，

在中，
在四边形中，

因为

（2）①当时，
沿折叠



②当时，
由（1）知，，
，
沿折叠



综上，∠ADE的度数为：45°或30°．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．
21．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
【答案】（1）;（2）;（3）见解析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】
（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接

由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点睛】
本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．