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初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用教学ppt课件
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这是一份初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用教学ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了勾股定理，线段最短两点之间，立体图形，平面图形等内容，欢迎下载使用。
问题1. 从A地到B地有五条道路，小明要从A地赶往B地乘车，时间紧急，请问此时小明应该怎么走？为什么？
走路线③，因为“两点之间线段最短”
问题2.有一个圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱表面爬行，怎么走最近?
如何求最短路径的长度？
1. 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．2. 能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.
1.3 勾股定理的应用
圆柱体表面上两点之间最短距离问题
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，（π取3）求在圆柱侧面上，点A和点B之间的最短距离.
在Rt△ACB中，由勾股定理得，AB2=122+(3×3)2∴AB=15cm
例1. 有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A处沿侧面爬到点B处(点A，B均在玻璃杯外部)，如图，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)
解：圆柱的侧面展开图为长方形ACDE，如图，其中AC的长为圆柱的底面周长，连接AB，过点B作AE的垂线交AE于点E′，交CD于点D′.
变式一.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2 =52＋122＝132，∴AB'=13.答：梯子最短需13米.
变式二. 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为________．
解：作CD⊥ FA 于D， 作A 关于EF 的对称点A′，连接A′ C，与EF 交于B，连接AB，则A → B → C 为最短路线.
DC=9 cm，FD=8 cm，FA′ =4 cm， 在Rt △ A′DC 中，A′C2=A′D2+DC2=（4+ 8）2+92=225=152，∴A′C=15 cm. ∵AB+BC=A′B+BC=A′C，∴最短路线的长为15 cm.
长方体表面上两点之间最短距离问题
例2. 长方体的长宽高分别为8cm,6cm,5cm，从A到B，怎么走路径最短.
从顶点A到顶点B最短路径为：AB2=(b+c)2+a2 (a,b,c为长宽高,且a>b,a>c)
例2. 如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
解析：AC 2＝ (2＋2)2＋32＝25；∴AC=5cm,∴蚂蚁爬行的最短路线的长为5 cm.
变式. 长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C的距离是5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm?
解析：AB2=202+(10+5)2=625=252,∴AB=25 cm; ∴蚂蚁爬行的最短路线的长为25 cm.
立体图形表面上两点之间最短距离问题
勾股定理及逆定理的实际应用
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm,边AD垂直于边AB吗?（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
解:(2)AD2+AB2=302+402=502=BD2，∴∠DAB=90°，∴AD⊥AB.
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm,边AD垂直于边AB吗?
(3)在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，若是，就是垂直；若不是，就是不垂直.
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
例3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设AC=AB=x m,则AE=(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x-1)2+32=x2，解得, x=5.∴滑道AC的长度为5 m.
1. 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食，它爬行的最短路程(π取3)大约是( )A．20 cm B．14 cm C．10 cm D．无法确定
2. 如图，为了庆祝五一劳动节,学校准备在教学大厅的圆柱形柱子上贴彩带,已知柱子的底面圆周长为1 m,高为3 m.如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处(线段AB与地面垂直),那么应购买彩带的长至少为( )A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m
3. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),则最短路线长为 .
4. 如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是( )A．12 B．13 C．15 D．17
5. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是；有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉到岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设AB ＝x尺，则BC ＝( x ＋1)尺，根据勾股定理得：x2＋52＝(x＋1)2，即：(x＋1)2－x2 ＝52，解得, x＝12， ∴芦苇长为12＋1＝13（尺），答：水深为12尺，芦苇长为13尺．
1. 利用勾股定理解决立体图形表面上两点之间最短距离问题
2. 利用勾股定理及逆定理解决实际应用问题
问题1. 从A地到B地有五条道路，小明要从A地赶往B地乘车，时间紧急，请问此时小明应该怎么走？为什么？
走路线③，因为“两点之间线段最短”
问题2.有一个圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱表面爬行，怎么走最近?
如何求最短路径的长度？
1. 学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．2. 能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.
1.3 勾股定理的应用
圆柱体表面上两点之间最短距离问题
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，（π取3）求在圆柱侧面上，点A和点B之间的最短距离.
在Rt△ACB中，由勾股定理得，AB2=122+(3×3)2∴AB=15cm
例1. 有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A处沿侧面爬到点B处(点A，B均在玻璃杯外部)，如图，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)
解：圆柱的侧面展开图为长方形ACDE，如图，其中AC的长为圆柱的底面周长，连接AB，过点B作AE的垂线交AE于点E′，交CD于点D′.
变式一.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2 =52＋122＝132，∴AB'=13.答：梯子最短需13米.
变式二. 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为________．
解：作CD⊥ FA 于D， 作A 关于EF 的对称点A′，连接A′ C，与EF 交于B，连接AB，则A → B → C 为最短路线.
DC=9 cm，FD=8 cm，FA′ =4 cm， 在Rt △ A′DC 中，A′C2=A′D2+DC2=（4+ 8）2+92=225=152，∴A′C=15 cm. ∵AB+BC=A′B+BC=A′C，∴最短路线的长为15 cm.
长方体表面上两点之间最短距离问题
例2. 长方体的长宽高分别为8cm,6cm,5cm，从A到B，怎么走路径最短.
从顶点A到顶点B最短路径为：AB2=(b+c)2+a2 (a,b,c为长宽高,且a>b,a>c)
例2. 如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
解析：AC 2＝ (2＋2)2＋32＝25；∴AC=5cm,∴蚂蚁爬行的最短路线的长为5 cm.
变式. 长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C的距离是5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm?
解析：AB2=202+(10+5)2=625=252,∴AB=25 cm; ∴蚂蚁爬行的最短路线的长为25 cm.
立体图形表面上两点之间最短距离问题
勾股定理及逆定理的实际应用
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm,边AD垂直于边AB吗?（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
解:(2)AD2+AB2=302+402=502=BD2，∴∠DAB=90°，∴AD⊥AB.
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm,边AD垂直于边AB吗?
(3)在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，若是，就是垂直；若不是，就是不垂直.
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
例3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设AC=AB=x m,则AE=(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x-1)2+32=x2，解得, x=5.∴滑道AC的长度为5 m.
1. 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食，它爬行的最短路程(π取3)大约是( )A．20 cm B．14 cm C．10 cm D．无法确定
2. 如图，为了庆祝五一劳动节,学校准备在教学大厅的圆柱形柱子上贴彩带,已知柱子的底面圆周长为1 m,高为3 m.如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处(线段AB与地面垂直),那么应购买彩带的长至少为( )A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m
3. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),则最短路线长为 .
4. 如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是( )A．12 B．13 C．15 D．17
5. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是；有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉到岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设AB ＝x尺，则BC ＝( x ＋1)尺，根据勾股定理得：x2＋52＝(x＋1)2，即：(x＋1)2－x2 ＝52，解得, x＝12， ∴芦苇长为12＋1＝13（尺），答：水深为12尺，芦苇长为13尺．
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2. 利用勾股定理及逆定理解决实际应用问题
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