数学八年级上册1 探索勾股定理精练

第一章勾股定理

1　探索勾股定理

1.勾股定理

(1)文字叙述:直角三角形两直角边的　平方和　等于斜边的　平方　. 

(2)字母表示:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么

　a2+b2=c2　. 

2.勾股定理的拼图验证

用4个直角边长分别为a,b,斜边长为c的全等的直角三角形,可拼成如图形状的大正方形.

(1)由正方形的面积公式可得大正方形面积为　(a+b)2　. 

(2)由各部分面积和等于大正方形面积,可得大正方形的面积为　4×ab+c2　. 

(3)由上整理可得　a2+b2=c2　,从而验证了勾股定理. 

运用勾股定理求线段问题的“四步法”

1.找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形.

2.定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系.

3.计算:根据勾股定理计算相关线段的平方.

4.求值:估值推算所求数值的哪个数的平方,然后确定线段长度.

1.(2021·新疆乌鲁木齐模拟)直角三角形中,一条直角边长为24 cm,斜边长为25 cm,则另一直角边长为              (A)

A.7 cm        B.12 cm       C.16 cm        D.49 cm

2.(2021·甘肃张掖期中)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A, B都是格点,则线段AB的长为              (A)

A.5           B.6          C.7             D.2

3.(2021·宁夏银川期中)若直角三角形的两直角边长分别为5 cm,12 cm,则斜边上的高为              (B)

A. cm  B. cm       C.13 cm       D. cm

4.(2021·甘肃白银期中)在Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为　8　. 

5.(2020·宁夏中考)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放,那么图2中最大的正方形的面积为　27　. 

6.(2021·甘肃张掖质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形的三边长分别为　26,10,24　. 

7.在△ABC中,∠C=90°,其中a∶b=3∶4,且c=10 cm,则S△ABC=　24　cm2. 

8.(2021·内蒙古包头模拟)如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD=　6　. 

9.(2021·新疆哈密模拟)如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5 m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m,当端点B向右移动0.5 m,求滑杆顶端A下滑多少米?

【解析】设AE的长为x m,则CE=AC-x.

在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=4,故AC=2.

在Rt△ECD中,CD=BC+BD=2,所以CE2=DE2-CD2=2.25,故CE=1.5,

所以AE=AC-CE=0.5(m),即滑杆顶端A下滑0.5m.

1.(2021·甘肃白银期中)如图,∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长为(A)

A.4          B.5          C.8            D.10

2.(2021·内蒙古赤峰模拟)如图,以直角三角形a,b,c为边,向外作半圆,等腰直角三角形和正方形,上述三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为              (C)

A.1          B.2          C.3             D.0

3.(2021·宁夏中卫质检)在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为　32或42　. 

4.(2021·甘肃兰州期中)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.

(1)求证:EC=BD;

(2)若设△AEC的三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

【解析】(1)∵AE⊥m,BD⊥m,∴∠AEC=∠CDB=90°,

∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠ACE+∠BCD=90°,∵∠ACE+∠CAE=90°,

∴∠CAE=∠BCD,在△AEC与△BCD中,,

∴△CAE≌△BCD(AAS),∴EC=BD.

(2)见全解全析

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