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数学必修 第一册1.1 集合的概念图片课件ppt
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这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念图片课件ppt，文件包含第一课时集合的含义pptx、第一课时集合的含义DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共46页， 欢迎下载使用。
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、元素与集合的相关概念1.问题 阅读下面的例子，并回答提出的问题：①在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体；②方程x2－2 022＝0的所有实数根；③某校高一(1)班所有性格开朗的女生；
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？提示 分别为点、实数根、女生、整数解.(2)哪个语句中的对象不确定？为什么？提示 ③中的对象不确定，因为“性格开朗”没有明确的划分标准，其他①、②、④中的对象均是确定的.(3)上述问题实例中的①、②、④有什么共同的特点？提示 三个实例中均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
2.填空 (1)元素：一般地，我们把研究______统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
二、集合中元素的特征1.问题 英文单词gd的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？提示 能.因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素.因为集合中的元素是互不相同的(互异性).2.问题 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？提示 两集合相等.集合中的元素没有先后顺序(无序性).3.填空 集合中元素的特性：________、________、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是______的.
4.做一做 (多选)下列所给的对象能构成集合的是( )
三、元素与集合的关系1.问题 设集合A表示“1～10之间的所有奇数”，3和4与集合A是何关系？提示 3是集合A中的元素，4不是集合A中的元素.2.填空 如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作a____A；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a____A.
四、常用的数集及其记法1.问题 非负整数集与正整数集有何区别？提示 非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0.
温馨提醒 0是自然数，0∈N.
3.做一做 用符号“∈”或“∉”填在横线上.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2022年在校的所有矮个子同学；
题型一 对集合概念的理解
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
(4)的近似值的全体.
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
训练1 (1)下列给出的对象中能构成集合的是( )A.著名的物理学家 B.很大的数C.聪明的人 D.小于3的实数解析 只有D项有明确的标准，能构成一个集合.
(2)给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一(3)班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；③正确，高一(3)班的姓氏是确定的，所以能构成集合；④错误，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合.
例2 (1)(多选)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是( )
题型二 元素与集合的关系
(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为_____________.
解析 因为1∉A，2∈A，
判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
训练2 (1)给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.
例3 已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为____________.
解析 因为集合P＝{－1，2a＋1，a2－1}，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，
题型三 元素特征的应用
当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
训练3 已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定；若研究对象不确定，则不能构成集合.2.某一元素与集合A的关系是确定的，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一.3.(1)求集合中字母参数的值时，一定要检验所得参数值是否满足集合中元素的互异性.(2)切莫遗忘“0”是自然数集N中的元素.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有( )A.某一天到商场买过商品的顾客B.小于0的实数C.(2 022，1)与(1，2 022)D.未来世界的高科技产品解析 A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2 022，1)与(1，2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中未来世界的高科技产品不能构成一个集合.
2.(多选)下列关系中，正确的是( )
3.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
解析 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
4.有下列说法：①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2∉N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错.
5.已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )A.1∈M B.0∈MC.－1∈M D.－2∈M解析 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.故选C.
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根为元素的集合中共有________个元素.解析 方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
7.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.
9.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.解 ∵a∈A且3a∈A，
又a∈N，∴a＝0或1.
10.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值.解 (1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性.故x＝－2.
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A，且2∈BB.(1，2)∈A，且(1，2)∈BC.2∈A，且(3，10)∈BD.(3，10)∈A，且2∈B解析 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.
则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，所以集合M中的元素是0，1，2，5.
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
即a2－a＋1＝0，方程无实数解.
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
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问题导学预习教材 必备知识探究
一、元素与集合的相关概念1.问题 阅读下面的例子，并回答提出的问题：①在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体；②方程x2－2 022＝0的所有实数根；③某校高一(1)班所有性格开朗的女生；
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？提示 分别为点、实数根、女生、整数解.(2)哪个语句中的对象不确定？为什么？提示 ③中的对象不确定，因为“性格开朗”没有明确的划分标准，其他①、②、④中的对象均是确定的.(3)上述问题实例中的①、②、④有什么共同的特点？提示 三个实例中均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
2.填空 (1)元素：一般地，我们把研究______统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
二、集合中元素的特征1.问题 英文单词gd的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？提示 能.因为集合中的元素是确定的(确定性)；三个元素.因为集合中的元素是互不相同的(互异性).2.问题 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？提示 两集合相等.集合中的元素没有先后顺序(无序性).3.填空 集合中元素的特性：________、________、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是______的.
4.做一做 (多选)下列所给的对象能构成集合的是( )
三、元素与集合的关系1.问题 设集合A表示“1～10之间的所有奇数”，3和4与集合A是何关系？提示 3是集合A中的元素，4不是集合A中的元素.2.填空 如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作a____A；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a____A.
四、常用的数集及其记法1.问题 非负整数集与正整数集有何区别？提示 非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0.
温馨提醒 0是自然数，0∈N.
3.做一做 用符号“∈”或“∉”填在横线上.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2022年在校的所有矮个子同学；
题型一 对集合概念的理解
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
(4)的近似值的全体.
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
训练1 (1)下列给出的对象中能构成集合的是( )A.著名的物理学家 B.很大的数C.聪明的人 D.小于3的实数解析 只有D项有明确的标准，能构成一个集合.
(2)给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一(3)班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；③正确，高一(3)班的姓氏是确定的，所以能构成集合；④错误，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合.
例2 (1)(多选)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是( )
题型二 元素与集合的关系
(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为_____________.
解析 因为1∉A，2∈A，
判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
训练2 (1)给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.
例3 已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为____________.
解析 因为集合P＝{－1，2a＋1，a2－1}，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，
题型三 元素特征的应用
当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
训练3 已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定；若研究对象不确定，则不能构成集合.2.某一元素与集合A的关系是确定的，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一.3.(1)求集合中字母参数的值时，一定要检验所得参数值是否满足集合中元素的互异性.(2)切莫遗忘“0”是自然数集N中的元素.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有( )A.某一天到商场买过商品的顾客B.小于0的实数C.(2 022，1)与(1，2 022)D.未来世界的高科技产品解析 A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2 022，1)与(1，2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中未来世界的高科技产品不能构成一个集合.
2.(多选)下列关系中，正确的是( )
3.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
解析 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
4.有下列说法：①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2∉N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错.
5.已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )A.1∈M B.0∈MC.－1∈M D.－2∈M解析 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.故选C.
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根为元素的集合中共有________个元素.解析 方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
7.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.
9.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.解 ∵a∈A且3a∈A，
又a∈N，∴a＝0或1.
10.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值.解 (1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性.故x＝－2.
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A，且2∈BB.(1，2)∈A，且(1，2)∈BC.2∈A，且(3，10)∈BD.(3，10)∈A，且2∈B解析 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.
则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，所以集合M中的元素是0，1，2，5.
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
即a2－a＋1＝0，方程无实数解.
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