初中数学华师大版八年级上册12.5 因式分解第2课时教案及反思

12.5 因式分解

第2课时

教学目标

【知识与能力】

1.了解运用公式法的含义.

2.理解逆用两数和乘以这两数的差公式的意义，弄清公式的形式和特点.

3.初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

【过程与方法】

运用对比的方法弄清“两数和乘以这两数的差的公式”与“逆用两数和乘以这两数的差的公式”的区别与联系.

【情感态度价值观】

通过学习进一步理解数学知识间的密切联系，培养认真仔细学习的严谨态度.

教学重难点

【教学重点】

初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

【教学难点】

正确逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

课前准备

无

教学过程

（一）复习

1．填空：

(1)(a+b)(a-b)=＿＿＿＿＿＿＿.

(2)(a+b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(3)(a-b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2．说出1—20的平方的结果.

（二）运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法.

（三）逆用两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式）

1．平方差公式

（1）公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

（2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？（可提示两数和乘以这两数的差的公式是怎样叙述的？）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式就是平方差公式.

①注意与整式乘法中的语言叙述的区别，并以此来帮助同学们弄清两种公式的区别.

②多项式（整式）（整式）……（整式）

在整式乘法中平方差是计算的结果，而因式分解中的平方差则是待分解的多项式.

在整式乘法中两数和乘以这两数的差是计算的条件，而因式分解中的两数和乘以这两数的差则是分解的结果.

（3）形式和特点：

运用条件：两个数平方差的形式（即公式的左边）；

运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右边，是两个二项式的乘积）.

（4）例子：

把x2-16和9m2-4n2分解因式.

很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式.而16=42，9m2=(3m)2,4n2=(2n)2,所以有

x2-16=x2-42=(x+4)(x-4)，9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。

注意在讲解过程中一项一项对照公式，以加深对公式的理解.

提问：3m2-2n2可以用平方差公式分解因式吗？（指出在没有特别说明的情况下分解因式都是在有理数范围内分解，如果在实数范围内可分解为：，a2+b2呢？

2.变式巩固练习

变式一：把下列各式分解因式：

（1）1-25b2    (2)x2y2-z2    (3)    （4）-9+16a2

请学生试做，再请学生自己说为什么可以这样分解.

分析：由于（1）中1=12,25b2=(5b)2.（2）中x2y2=（xy）2.（3）中，

0.01n2=(0.1n)2.（4）可以写成16a2-9，而16a2=(4a)2,9=32.都符合平方差公式，因此都可以用平方差公式来分解因式.

   解：（1） 1-25b2  =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)

      （2） x2y2-z2 =（xy）2- z2 =(xy+z)(xy-z)

      （3） =

      （4） -9+16a2=16a2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3)

变式二：把下列各式分解因式：

（1）(x+p)2-(x+q)2      （2）16(a-b)2-9(a+b)2   （3）9x2-(x-2y)2

请同学们先讨论，然后再做，再请学生自己说为什么可以这样分解.

分析：在（1）中(x+p)、(x+q)分别相当于公式中的a、b.（2）中16(a-b)2

=［4(a-b)］2, 9(a+b)2=［3(a+b)］2.（3）中9x2=(3x) 2.它们都符合平方差公

式，因此都可以用平方差公式来分解因式.

   解：（1）(x+p)2-(x+q)2=［(x+p)+(x+q)］［(x+p)-(x+q)］

       =(x+p+x+q)(x+p-x-q)   括号中有同类项应合并.

=(2x+p+q)(p-q)

     （2）16(a-b)2-9(a+b)2=［4(a-b)］2-［3(a+b)］2

           =［(4a-4b)+(3a+3b)］［(4a-4b)-(3a+3b)］

           =(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)

          =(7a-b)(a-7b)

     （3）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=［3x+(x-2y)］［3x-(x-2y)］

          =(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式.

          =2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y)

提问：最后为什么不是2(2x-y)(x+y)？

巩固练习：

把下列各式分解因式：

（1）4a2-b2             （2）(3m+2n)2-(m-n)2

（3）(4x-3y)2-16y2      （4）-4(x+2y)2+9(2x-y)2

（四）小结

提问：1、什么是运用公式法进行因式分解？

2、运用平方差公式分解因式的条件和结果是什么？应注意什么？

（五）作业

课堂作业

把下列各式分解因式:

（1）1－m2       （2）－a2＋b2      （3）x2－y2        （4）－9＋16x2    

（5）4x2－9y2    （6）0.36x2－y2  （7）x2y2－z2       （8）x2－(x－y)2    

（9）9(x－y)2－y2                 （10）(x＋2y)2－(2x－y)2

（11）16(a＋b)2－9(a－b)2         （12）(a2＋b2)2－a2b2

家庭作业

1、把下列各式分解因式:

（1）  （2）  （3）  （4）

2、把下列各式分解因式:

（1）             

（2）

（3）  

（4）

板书设计：