初中数学华师大版八年级上册12.5 因式分解第2课时教案设计

第2课时 运用平方差公式分解因式

教学目标

1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．

2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

教学重难点

重点：理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．

难点：掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．

教学过程

一、情境导入

1.同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．

2.你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？

探究点一：运用平方差公式分解因式

【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式

下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)

A．a2＋(－b)2     B．5m2－20mn      C．－x2－y2     D．－x2＋9

解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.

方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式(或可以看出两项的)，两项都能写成平方的形式，且符号相反．

【类型二】 利用平方差公式分解因式

分解因式：

(1)x2－36；  (2)－y2＋16x2；   (3)(m＋1)(m－9)＋8m；   (4)(a＋b)2－4a2.

解析：(1)可直接根据平方差公式进行因式分解；(2)中可运用加法交换律将式子变形为16x2－y2再根据平方差公式进行因式分解；(3)需先将式子化简整理，再根据平方差公式进行因式分解；(4)需将（a+b）看作一个整体，然后运用平方差公式进行因式分解.

解：(1)原式＝(x－6)(x＋6). 

(2)原式＝16x2－y2＝(4x－y)(4x＋y).

(3)原式＝m2－8m－9＋8m=m2－9=(m－3)(m＋3).

(4)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).

【类型三】 结合平方差公式，两步分解因式

分解因式：

(1)x3y2－xy4；     (2)a4－b4；    (3)9(m＋n)2－(m－n)2.

解析：(1)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式；(2)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(3)将(m＋n) 、(m－n)看作整体，然后运用平方差公式因式分解，需注意分解后得到的因式中，不含公因式.

解：(1)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．

(2)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b).

(3)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．

方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

探究点二：运用平方差公式分解因式的应用

【类型一】 利用平方差公式进行简便运算

利用因式分解计算：

(1)1012－992；    (2)5722×－4282×.

解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．

解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；

(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.

方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．

【类型二】 利用因式分解整体代换求值

已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．

解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值．

解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.

方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．

【类型三】 因式分解的实际应用

 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？

解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．

解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．

答：所有阴影部分的面积和是5050 cm2.

方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

三、板书设计

运用平方差公式因式分解

1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式(或可以看成两项的)，两项都能写成平方的形式，且符号相反．

教学反思

运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．