华师大版八年级上册12.5 因式分解第3课时教案

第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式

教学目标

1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；

2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．

教学重难点

重点：理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.

难点：掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．

教学过程

一、问题引入

1．分解因式：

(1)x2－4y2；　　　　　    (2)3x2－3y2；

(3)x4－1；　　　　　　    (4)(x＋3y)2－(x－3y)2.

2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点一：运用两数和（差）的平方分解因式

【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)

(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.

A．1个  　 B．2个    C．3个    D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

【类型二】 运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)      x2+14x+49；  (2)－4x2+12xy－9y2；(3)

解析：(1)直接运用完全平方公式分解因式；(2)先变形为－(4x2－12xy+9y2)，再根据完全平方公式分解因式；(3)将b+c看作一个整体，然后根据完全平方公式分解因式.

解：(1)原式＝(x+7)2.

(2)原式＝－(4x2－12xy+9y2)＝－(2x－3y)2.

(3)原式＝[a－(b+c)]2＝(a－b－c)2.

【类型三】结合完全平方公式，两步分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；  (2)a4－2a2b2+b4；   (3)(a2＋4)2－16a2.

解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用完全平方公式，再用平方差公式；(3)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.

(2)原式＝(a2－b2)2＝(a＋b)2(a－b)2.

(3)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.

方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

探究点二：两数和（差）的平方分解因式的应用

【类型一】 运用因式分解进行简便运算

利用因式分解计算：

(1)342＋34×32＋162；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.

解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．

解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.

方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．

【类型二】 利用因式分解判定三角形的形状

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．

解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．

方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．

【类型三】 整体代入求值

已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．

解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．

解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝

×10×52＝125.

方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．

三、板书设计

1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.

2．完全平方公式的特点：

(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数乘积的±2倍)．

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．

教学反思

本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．