还剩24页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套人教A版高中数学选择性必修第一册课时学案
成套系列资料，整套一键下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第1课时学案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第1课时学案，共27页。
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到．
知识点1 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝_AP2-AQ2＝a2-a·u2．
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
知识点2 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝AP·nn＝AP·nn＝AP·nn．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为( )
A．322 B．22 C．102 D．2
A [AP＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝AP2-AP·ss2＝5-122＝322．]
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．
103 [由题意知，AP＝(－1，－2，4)，|n|＝-22+-22+1＝3，
AP·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，
∴点P到平面α的距离为AP·nn＝103．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，E12，1，0，O1，12，12，
因为A1E＝-12，1，-1，
u＝A1EA1E＝-13，23，-23，
取a＝OA1＝0，-12，12，
所以a2＝12，a·u＝－23.
所以点O到直线A1E的距离为a2-a·u2＝12-49＝26.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．
[解] 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E12，1，1，F0，12，1，
于是FA＝1，-12，-1，FE＝12，12，0.
因此|FE|＝22.
过点E作FA的垂线交FA于H，则FH是FE在FA上的投影向量．
于是，|FH|＝FE·FAFA＝12×1+12×-12+0×-112+-122+-12＝16.
所以点E到直线AF的距离|HE|＝FE2-FH2＝222-162＝176.
类型2 点、直线、平面到平面的距离
【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[思路导引] (1)建系写出求出相 关点的坐标 P，A，C，E，F求出相关向 量的坐标 EF，PE，DE―→设平面PEF的法向量为n―→求n―→利用d＝DE·nn求距离．
(2)易知AC∥EF 转化 点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离―→求AE―→利用AE·nn求A到平面PEF的距离．
[解] (1)建立以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E1，12，0，F12，1，0，
所以EF＝-12，12，0，PE＝1，12，-1，DE＝1，12，0.
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·EF=0，n·PE=0，即-12x+12y=0，x+12y-z=0.
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以点D到平面PEF的距离d＝DE·nn＝2+14+4+9＝31717.
(2)因为AE＝0，12，0，
所以点A到平面PEF的距离d′＝AE·nn＝117＝1717，
所以直线AC到平面PEF的距离为1717.
1．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝AP·nn.
2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
[跟进训练]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝23.
(1)证明：BC∥平面AOC1；
(2)求点B到平面AOC1的距离．
[解] (1)证明：连接A1C，交AC1于点E，则E为A1C的中点．
连接OE，在△A1BC中，OE为中位线，则OE∥BC．因为OE⊂平面AOC1，BC⊄平面AOC1，
所以BC∥平面AOC1.
(2)设AC的中点为D，在平面ACC1A1内过点D作AC的垂线，连接BD．
如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，
O22，-22，3，C1(0，2，23)，
所以AB＝(2，2，0)，AO＝22，22，3，
AC1＝(0，22，23)．
设平面AOC1的法向量n＝(x，y，z)，
则n·AO=0，n·AC1=0，得22x+22y+3z=0，22y+23z=0， 不妨取y＝3，则n＝(3，3，－2)．
故点B到平面AOC1的距离为AB·nn＝2622＝3.
1．已知直线l上一点A(2，3，1)，直线l与平面α平行，平面α上有一点P(4，3，2)且平面α的法向量为s＝(0，1，1)，则直线l到平面α的距离为( )
A．322 B．22 C．102 D．2
B [因为A(2，3，1)，P(4，3，2)，所以AP＝(2，0，1)，因为l∥α，所以l到平面α的距离即为点A到平面α的距离．
由点到平面的距离公式得d＝AP·ss＝12＝22，故选B．]
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．66 B．63 C．36 D．33
D [以P为原点，分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，又PA＝(1，0，0)，则点P到平面ABC的距离d＝PA·nn＝33．]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A．32 B．22 C．3 D．32
B [∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝n·OAn＝-2+0+12＝22.故选B．]
4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
32 [如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，0，3)，
∴A1B＝(－1，1，－3)，
A1C＝(－1，0，－3)，
A1B1＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=0，n·A1C=0，即-x+y-3z=0，-x-3z=0.
令z＝1，得x＝－3，y＝0，
∴n＝(－3，0，1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝n·A1B1n＝32．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
提示：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为AP2-AP·u2
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
提示：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是AP·nn
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？
提示：先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β.由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β.于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求AB在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b.因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝AB·nn.
课时分层作业(九) 用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．已知直线l的一个方向向量n＝(－2，－2，1)，直线l过点A(－1，3，0)，则点P(－2，1，4)到直线l的距离为( )
A．10 B．3 C．83 D．893
D [由AP＝(－1，－2，4)，得点P到直线l的距离d＝AP2-AP·nn2＝893．]
2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝95，则点P到斜边AB的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95，
所以AB＝(－4，3，0)，AP＝-4，0，95，
所以点P到AB的距离
d＝AP2-AP·ABAB2＝16+8125-25625＝3．故选C．]
3．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A．513 B．1213 C．135 D．1312
B [如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
QB＝(3，0，－1)，BD＝(－3，4，0)，QP＝(0，0，1)．
设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·BD=0，n·QB=0，即-3x+4y=0，3x-z=0.
令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．
∴点P到平面BQD的距离d＝QP·nn＝1213．]
4．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有( )
A．3 B．6
C．22 D．23
ABD [建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，
A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以BD1＝(－3，－3，3)，
因为BP＝13BD1＝(－1，－1，1)，
所以DP＝DB+BP＝(2，2，1)．
所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝12+22+12＝6.
|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝22+22+12＝3，
|PB|＝3，|PD1|＝22+22+22＝23.
故P到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23．]
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A．12 B．22
C．13 D．32
D [如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，
D1(0，0，1)，M1，1，12，N12，1，1，C(0，1，0)．
所以AD1＝(－1，0，1)，MN＝-12，0，12.
所以MN＝12AD1，又直线AD1与MN不重合，
所以MN∥AD1，又MN⊄平面ACD1，
所以MN∥平面ACD1.
因为AD1＝(－1，0，1)，D1C＝(0，1，－1)，
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则n·AD1=0，n·D1C=0，所以-x+z=0，y-z=0.
所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1)．
又因为AM＝1，1，12－(1，0，0)＝0，1，12，所以点M到平面ACD1的距离d＝AM·nn＝323＝32.
故直线MN与平面ACD1间的距离为32．]
二、填空题
6．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________．点D到平面EFD1B1的距离为________．
62 13 [建立如图所示的空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，
C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F0，12，1，E12，1，1.
所以|A1D|＝|A1C1|＝|DC1|＝2，
即△DA1C1为等边三角形，
所以点D到A1C1的距离为三角形的高
h＝2×sin 60°＝62.
又D1F＝0，12，1，D1B1＝(1，1，0)，
则可求得平面EFD1B1的法向量为n＝-1，1，-12.
又D1D＝(0，0，1)，故d＝D1D·nn＝13．]
7．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
255 [如图所示，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，ED1＝(－1，－2，2)．
设P(x，y，z)，EP＝λED1，λ∈[0，1]，且EP＝(x－1，y－2，z)，
所以(x－1，y－2，z)＝λ(－1，－2，2)，
解得x＝1－λ，y＝2－2λ，z＝2λ，
所以P(1－λ，2－2λ，2λ)．
设点P在直线CC1上的射影为Q，则Q(0，2，2λ)，
|PQ|＝1-λ2+4λ2＝5λ-152+45，
当λ＝15时，|PQ|min＝255．]
8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．
43737 [以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1
分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则E1，1，12，F0，1，12，G0，0，13，D1(0，0，1)，
A1(1，0，1)，
∴EF＝(－1，0，0)，FG＝0，-1，-16，D1A1＝(1，0，0)，
∴D1A1∥EF，∴D1A1∥EF.
又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·EF=0，n·FG=0，即-x=0，y+16z=0，
令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1，6)，
又∵D1F＝0，1，-12，
∴点D1到平面EFGH的距离d＝D1F·nn＝-1-30+1+36＝43737，
∴A1D1到平面EFGH的距离为43737．]
三、解答题
9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求|BF|.
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解] 如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，4，0)，
A(2，0，0)，C(0，4，0)，
E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
AE＝(0，4，1)，
(1)设F(0，0，a)，由AF＝EC1，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，
所以a＝2，所以F(0，0，2)，BF＝(－2，－4，2)，
所以|BF|＝26.
(2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，AF＝(－2，0，2)
由n·AE=0，n·AF=0，得4y+z=0，-2x+2z=0.
取z＝1，则n＝1，-14，1，又CC1＝(0，0，3)，
所以C到平面AEC1F的距离d＝CC1·nn＝43311.
10．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为( )
A．135 B．137 C．157 D．169
A [如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
所以PB＝(3，0，－1)，BD＝(－3，4，0)，
取a＝PB＝(3，0，－1)，u＝BDBD＝-35，45，0，
则a2＝10，a·u＝－95，
所以点P到BD的距离为a2-a·u2＝10-8125＝135．]
11．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足AP＝34AB＋12AD＋23AA1，则下列说法正确的是( )
A．点A到直线BE的距离是55
B．点O到平面ABC1D1的距离为24
C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33
D．点P到直线AB的距离为2536
BC [如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E12，0，1，O12，12，1，
所以AB＝(1，0，0)，BE＝-12，0，1，
所以点A到直线BE的距离d1＝AB2-AB·BEBE2＝1-15＝255，故A中说法错误；
易知C1O＝-12，-12，0，平面ABC1D1的一个法向量为DA1＝(0，－1，1)，
则点O到平面ABC1D1的距离d2＝DA1·C1ODA1＝122＝24，故B中说法正确；
易知A1B＝(1，0，－1)，A1D＝(0，1，－1)，A1D1＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=0，n·A1D=0，即x-z=0，y-z=0，
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝A1D1·nn＝13＝33，
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33，故C中说法正确；
易知AD＝(0，1，0)，AA1＝(0，0，1)，
且AP＝34AB＋12AD＋23AA1.
所以AP＝34，12，23，
所以点P到直线AB的距离d4＝AP2-AP·ABAB2＝181144-916＝56，故D中说法错误．]
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
2 [由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
则PB＝(2，0，－2)，BC＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·PB=0，n·BC=0，即2a-2c=0，b=0，
取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又AB＝(2，0，0)，
所以d＝AB·nn＝2．]
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．
83 [如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，
D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，
∴EF＝MN，BF＝AM，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则n·MN=2x+2y=0，n·AM=-2x+4z=0，解得x=2z，y=-2z.
取z＝1，则x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵AB＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝n·ABn＝83．]
14．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
[解] (1)证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz.
则B(0，0，0)，D(0，2，2)，
B1(0，0，4)，设BA＝a，
则A(a，0，0)．
∴BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，
∴B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0.
∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，
又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD，
∴B1D⊥平面ABD．
(2)证明：由题意知E(0，0，3)，Ga2，1，4，F(0，1，4)．
∴EG＝a2，1，1，EF＝(0，1，1)，
∴B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0.
∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，
又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，
∴B1D⊥平面EFG，
结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD．
(3)由(1)，(2)知，BF＝(0，1，4)，B1D＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量，
∴点F到平面ABD的距离为d＝BF·B1DB1D＝-622＝322.
由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，
∴两平面间的距离为322.
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由．
[解] 取AD的中点O，在△PAD中，
∵PA＝PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
则CP＝(－1，0，1)，CD＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为32，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则CQ＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则n·CP=0，n·CD=0，
∴-x0+z0=0，-x0+y0=0，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝CQ·nn＝-1+y3＝32，
∴y＝－12或y＝52(舍去)．
此时AQ＝0，12，0，QD＝0，32，0，
则|AQ|＝12，|QD|＝32.
∴存在点Q满足题意，
此时AQQD＝13.
学习
任务
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模长．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到．
知识点1 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝_AP2-AQ2＝a2-a·u2．
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．
知识点2 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝AP·nn＝AP·nn＝AP·nn．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为( )
A．322 B．22 C．102 D．2
A [AP＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝AP2-AP·ss2＝5-122＝322．]
2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为________．
103 [由题意知，AP＝(－1，－2，4)，|n|＝-22+-22+1＝3，
AP·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，
∴点P到平面α的距离为AP·nn＝103．]
类型1 点到直线的距离
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，E12，1，0，O1，12，12，
因为A1E＝-12，1，-1，
u＝A1EA1E＝-13，23，-23，
取a＝OA1＝0，-12，12，
所以a2＝12，a·u＝－23.
所以点O到直线A1E的距离为a2-a·u2＝12-49＝26.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．
[解] 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E12，1，1，F0，12，1，
于是FA＝1，-12，-1，FE＝12，12，0.
因此|FE|＝22.
过点E作FA的垂线交FA于H，则FH是FE在FA上的投影向量．
于是，|FH|＝FE·FAFA＝12×1+12×-12+0×-112+-122+-12＝16.
所以点E到直线AF的距离|HE|＝FE2-FH2＝222-162＝176.
类型2 点、直线、平面到平面的距离
【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[思路导引] (1)建系写出求出相 关点的坐标 P，A，C，E，F求出相关向 量的坐标 EF，PE，DE―→设平面PEF的法向量为n―→求n―→利用d＝DE·nn求距离．
(2)易知AC∥EF 转化 点A到平面PEF的距离即为AC到平面PEF的距离―→求AE―→利用AE·nn求A到平面PEF的距离．
[解] (1)建立以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E1，12，0，F12，1，0，
所以EF＝-12，12，0，PE＝1，12，-1，DE＝1，12，0.
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·EF=0，n·PE=0，即-12x+12y=0，x+12y-z=0.
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)．
所以点D到平面PEF的距离d＝DE·nn＝2+14+4+9＝31717.
(2)因为AE＝0，12，0，
所以点A到平面PEF的距离d′＝AE·nn＝117＝1717，
所以直线AC到平面PEF的距离为1717.
1．用向量法求点面距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝AP·nn.
2．线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
[跟进训练]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝23.
(1)证明：BC∥平面AOC1；
(2)求点B到平面AOC1的距离．
[解] (1)证明：连接A1C，交AC1于点E，则E为A1C的中点．
连接OE，在△A1BC中，OE为中位线，则OE∥BC．因为OE⊂平面AOC1，BC⊄平面AOC1，
所以BC∥平面AOC1.
(2)设AC的中点为D，在平面ACC1A1内过点D作AC的垂线，连接BD．
如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，
O22，-22，3，C1(0，2，23)，
所以AB＝(2，2，0)，AO＝22，22，3，
AC1＝(0，22，23)．
设平面AOC1的法向量n＝(x，y，z)，
则n·AO=0，n·AC1=0，得22x+22y+3z=0，22y+23z=0， 不妨取y＝3，则n＝(3，3，－2)．
故点B到平面AOC1的距离为AB·nn＝2622＝3.
1．已知直线l上一点A(2，3，1)，直线l与平面α平行，平面α上有一点P(4，3，2)且平面α的法向量为s＝(0，1，1)，则直线l到平面α的距离为( )
A．322 B．22 C．102 D．2
B [因为A(2，3，1)，P(4，3，2)，所以AP＝(2，0，1)，因为l∥α，所以l到平面α的距离即为点A到平面α的距离．
由点到平面的距离公式得d＝AP·ss＝12＝22，故选B．]
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．66 B．63 C．36 D．33
D [以P为原点，分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，又PA＝(1，0，0)，则点P到平面ABC的距离d＝PA·nn＝33．]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A．32 B．22 C．3 D．32
B [∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝n·OAn＝-2+0+12＝22.故选B．]
4．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．
32 [如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，0，3)，
∴A1B＝(－1，1，－3)，
A1C＝(－1，0，－3)，
A1B1＝(－1，1，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=0，n·A1C=0，即-x+y-3z=0，-x-3z=0.
令z＝1，得x＝－3，y＝0，
∴n＝(－3，0，1)．
∴点B1到平面A1BC的距离d＝n·A1B1n＝32．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
提示：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为AP2-AP·u2
2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
提示：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是AP·nn
3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？
提示：先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β.由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β.于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求AB在此法向量上的投影向量的长度即可．
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b.因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝AB·nn.
课时分层作业(九) 用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．已知直线l的一个方向向量n＝(－2，－2，1)，直线l过点A(－1，3，0)，则点P(－2，1，4)到直线l的距离为( )
A．10 B．3 C．83 D．893
D [由AP＝(－1，－2，4)，得点P到直线l的距离d＝AP2-AP·nn2＝893．]
2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝95，则点P到斜边AB的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95，
所以AB＝(－4，3，0)，AP＝-4，0，95，
所以点P到AB的距离
d＝AP2-AP·ABAB2＝16+8125-25625＝3．故选C．]
3．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A．513 B．1213 C．135 D．1312
B [如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，
QB＝(3，0，－1)，BD＝(－3，4，0)，QP＝(0，0，1)．
设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·BD=0，n·QB=0，即-3x+4y=0，3x-z=0.
令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．
∴点P到平面BQD的距离d＝QP·nn＝1213．]
4．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有( )
A．3 B．6
C．22 D．23
ABD [建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，
A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以BD1＝(－3，－3，3)，
因为BP＝13BD1＝(－1，－1，1)，
所以DP＝DB+BP＝(2，2，1)．
所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝12+22+12＝6.
|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝22+22+12＝3，
|PB|＝3，|PD1|＝22+22+22＝23.
故P到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23．]
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A．12 B．22
C．13 D．32
D [如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，
D1(0，0，1)，M1，1，12，N12，1，1，C(0，1，0)．
所以AD1＝(－1，0，1)，MN＝-12，0，12.
所以MN＝12AD1，又直线AD1与MN不重合，
所以MN∥AD1，又MN⊄平面ACD1，
所以MN∥平面ACD1.
因为AD1＝(－1，0，1)，D1C＝(0，1，－1)，
设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，
则n·AD1=0，n·D1C=0，所以-x+z=0，y-z=0.
所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1)．
又因为AM＝1，1，12－(1，0，0)＝0，1，12，所以点M到平面ACD1的距离d＝AM·nn＝323＝32.
故直线MN与平面ACD1间的距离为32．]
二、填空题
6．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________．点D到平面EFD1B1的距离为________．
62 13 [建立如图所示的空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，
C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F0，12，1，E12，1，1.
所以|A1D|＝|A1C1|＝|DC1|＝2，
即△DA1C1为等边三角形，
所以点D到A1C1的距离为三角形的高
h＝2×sin 60°＝62.
又D1F＝0，12，1，D1B1＝(1，1，0)，
则可求得平面EFD1B1的法向量为n＝-1，1，-12.
又D1D＝(0，0，1)，故d＝D1D·nn＝13．]
7．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
255 [如图所示，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，ED1＝(－1，－2，2)．
设P(x，y，z)，EP＝λED1，λ∈[0，1]，且EP＝(x－1，y－2，z)，
所以(x－1，y－2，z)＝λ(－1，－2，2)，
解得x＝1－λ，y＝2－2λ，z＝2λ，
所以P(1－λ，2－2λ，2λ)．
设点P在直线CC1上的射影为Q，则Q(0，2，2λ)，
|PQ|＝1-λ2+4λ2＝5λ-152+45，
当λ＝15时，|PQ|min＝255．]
8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．
43737 [以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1
分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则E1，1，12，F0，1，12，G0，0，13，D1(0，0，1)，
A1(1，0，1)，
∴EF＝(－1，0，0)，FG＝0，-1，-16，D1A1＝(1，0，0)，
∴D1A1∥EF，∴D1A1∥EF.
又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，
∴D1A1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距离，
即为点D1到平面EFGH的距离．
设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·EF=0，n·FG=0，即-x=0，y+16z=0，
令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1，6)，
又∵D1F＝0，1，-12，
∴点D1到平面EFGH的距离d＝D1F·nn＝-1-30+1+36＝43737，
∴A1D1到平面EFGH的距离为43737．]
三、解答题
9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求|BF|.
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解] 如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，4，0)，
A(2，0，0)，C(0，4，0)，
E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
AE＝(0，4，1)，
(1)设F(0，0，a)，由AF＝EC1，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，
所以a＝2，所以F(0，0，2)，BF＝(－2，－4，2)，
所以|BF|＝26.
(2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，AF＝(－2，0，2)
由n·AE=0，n·AF=0，得4y+z=0，-2x+2z=0.
取z＝1，则n＝1，-14，1，又CC1＝(0，0，3)，
所以C到平面AEC1F的距离d＝CC1·nn＝43311.
10．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为( )
A．135 B．137 C．157 D．169
A [如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
所以PB＝(3，0，－1)，BD＝(－3，4，0)，
取a＝PB＝(3，0，－1)，u＝BDBD＝-35，45，0，
则a2＝10，a·u＝－95，
所以点P到BD的距离为a2-a·u2＝10-8125＝135．]
11．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足AP＝34AB＋12AD＋23AA1，则下列说法正确的是( )
A．点A到直线BE的距离是55
B．点O到平面ABC1D1的距离为24
C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33
D．点P到直线AB的距离为2536
BC [如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E12，0，1，O12，12，1，
所以AB＝(1，0，0)，BE＝-12，0，1，
所以点A到直线BE的距离d1＝AB2-AB·BEBE2＝1-15＝255，故A中说法错误；
易知C1O＝-12，-12，0，平面ABC1D1的一个法向量为DA1＝(0，－1，1)，
则点O到平面ABC1D1的距离d2＝DA1·C1ODA1＝122＝24，故B中说法正确；
易知A1B＝(1，0，－1)，A1D＝(0，1，－1)，A1D1＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1B=0，n·A1D=0，即x-z=0，y-z=0，
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝A1D1·nn＝13＝33，
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33，故C中说法正确；
易知AD＝(0，1，0)，AA1＝(0，0，1)，
且AP＝34AB＋12AD＋23AA1.
所以AP＝34，12，23，
所以点P到直线AB的距离d4＝AP2-AP·ABAB2＝181144-916＝56，故D中说法错误．]
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
2 [由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
则PB＝(2，0，－2)，BC＝(0，2，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·PB=0，n·BC=0，即2a-2c=0，b=0，
取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又AB＝(2，0，0)，
所以d＝AB·nn＝2．]
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．
83 [如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，
D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
∴EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，
∴EF＝MN，BF＝AM，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD．
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则n·MN=2x+2y=0，n·AM=-2x+4z=0，解得x=2z，y=-2z.
取z＝1，则x＝2，y＝－2，
得n＝(2，－2，1)．
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．
∵AB＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝n·ABn＝83．]
14．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
[解] (1)证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz.
则B(0，0，0)，D(0，2，2)，
B1(0，0，4)，设BA＝a，
则A(a，0，0)．
∴BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，
∴B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0.
∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，
又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD，
∴B1D⊥平面ABD．
(2)证明：由题意知E(0，0，3)，Ga2，1，4，F(0，1，4)．
∴EG＝a2，1，1，EF＝(0，1，1)，
∴B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0.
∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，
又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，
∴B1D⊥平面EFG，
结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD．
(3)由(1)，(2)知，BF＝(0，1，4)，B1D＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量，
∴点F到平面ABD的距离为d＝BF·B1DB1D＝-622＝322.
由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，
∴两平面间的距离为322.
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由．
[解] 取AD的中点O，在△PAD中，
∵PA＝PD，∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
则CP＝(－1，0，1)，CD＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为32，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则CQ＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则n·CP=0，n·CD=0，
∴-x0+z0=0，-x0+y0=0，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝CQ·nn＝-1+y3＝32，
∴y＝－12或y＝52(舍去)．
此时AQ＝0，12，0，QD＝0，32，0，
则|AQ|＝12，|QD|＝32.
∴存在点Q满足题意，
此时AQQD＝13.
学习
任务
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)
相关学案
高中数学1.4 空间向量的应用第2课时学案设计： 这是一份高中数学1.4 空间向量的应用第2课时学案设计，共30页。
【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）导学案（有答案）： 这是一份【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）导学案（有答案），共12页。学案主要包含了学习目标，学习过程等内容，欢迎下载使用。
数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品导学案： 这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品导学案，共18页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
