小学数学人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）教案

《数学广角——鸽巢问题》教学设计

【教学内容】

人教版六年级下册第68、69页的例1、例2。

【教材分析】

“鸽巢问题”又叫”抽屉原理”。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”解决问题。

【学情分析】

六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，激发学生的学习兴趣；另一方面要创造条件和机会，让学生充分发挥学习的自主性，重在让学生经历知识发生、发展的过程，而不是只求结论。“抽屉原理”在生活中应用广泛，学生在生活中也常常能遇到实例，但并不能从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”，因此教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。

【教学目标】

1.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2.通过动手操作发展学生的类比推理能力，形成抽象概括的数学思维。

【教学重点】

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

【教学难点】

理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

【教学方法】

“自主—合作—检测—提高”四步教学法。

【教学准备】

教学课件、每组都有相应数量的杯子、铅笔、小组合作研究记录表。

【教学过程】

一、课前交流，自主参与

同学们喜欢看魔术表演吗？今天老师也给大家带来一个魔术。想看吗？（出示扑克牌）一副扑克牌有多少张？知道扑克牌有几种花色吗？老师现在把大王、小王抽掉，还剩下多少张？现在我就用这52张扑克牌来变魔术，老师需要五位同学当助手，谁愿意？请上这五位同学。请你们五位任意抽取一张牌，不要让我看到，自己看好牌记在心里，记住了吗？把牌收好了。同学们，下面就是见证奇迹的时刻。

我敢肯定的说在你们这五张牌里，至少有两张是同一花色的。信吗？把牌拿出来验证一下，同一花色的站到一起，把牌举起来面向大家，我猜对了吗？要不要再来一次？这一次老师请一位同学帮忙，把扑克牌交到他手中，问：你有没有必要向大家澄清一下，你是不是老师的托儿？洗好牌后，让五位学生每人任意抽一张（学生抽牌的时候老师背过身去）。我这次还敢肯定的说，在这五张牌中，至少有两张是同一花色的。我这次猜对了吗？请五位同学把牌举起来，面向大家，同一花色的站到一起。

如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？不要着急下结论，上完这节课再告诉我。

【设计意图】从学生感兴趣的魔术开始，让学生初步体验不管怎样抽，一定会存在至少有两张牌是同一花色的，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，为后面的学习活动做好了铺垫。

二、合作探究，交流讨论

（一）动手操作，感知模型

刚才老师能做出准确的判断，是因为在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理，同学们想不想通过动手操作来发现它？我们先从最简单的情况入手。

1.动手操作

小组合作研究：把4支铅笔放入3个杯子，有几种放法？学生动手操作、交流，师巡视、指导（也可以用圆形代替杯子，用竖线代替铅笔）。

2.全班交流

哪个小组愿意到前边展示一下你们的研究结果？学生把小组合作结果放到展台上，边演示边说方法。

其他组还有不同的表示方法吗？

用数字表示的一组学生展示：（4,0,0）（3,1,0）（2,2,0）（2,1,1），并说出了用数字表示更简洁方便。

观察这四种方法的每一种，最多的那个盒子里各放了几支铅笔？（每种放法中，最多的盒子里分别放4支、3支、2支、2支）

你有什么发现？能把你的发现完整的说一下吗？（每种放法中，总有一个放得最多的盒子，在这些最多的里面，放得最少的情况是2支。）

你们的发现和他一样吗？让学生充分发表自己的见解。最后得出结论：4支铅笔放入3个杯子，无论怎么放，总会有一个杯子里至少放2支，我们也可以说4支铅笔放入3个杯子里的至少数是2。

“总有”是什么意思？（一定有）至少2支是什么意思？（大于或等于2支）

其他同学听明白了吗？师提出质疑：要想得出刚才的结论，有必要把每一种放法都摆出来吗？（我觉得只摆一种也能得出刚才的结论。）

说说你的想法。（小组讨论后请代表发言：先往每个杯子里放一支铅笔，这样还剩下一支，剩下的这一支随便放入一个杯子就行了。）听明白了吗?为了更直观,我们一起来演示一下吧（一边课件演示一边解说）。

师：在这四种放法中，要想使最多的那个杯子出现放得最少的情况，我们要从“最不利”的情况考虑，就是先将四支铅笔平均分，余下的一支放入其中任意一个杯子，无论放进哪个杯子，总会有一个杯子里至少是2支铅笔。既然是平均分，能用算式表示吗？

生说算式，师板书。商1和余数1意义相同吗？看来在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。

【设计意图】通过让学生自己动手操作，用枚举法找出4支铅笔放入3个杯子的所有方法，观察总结出四种方法的共同点，即总有一个杯子里至少有2支铅笔，让学生充分理解“总有”“至少”的含义。

（二）逐步深入，建立模型

1.初建模型

如果把5支铅笔放入4个杯子，会是什么结果呢？学生回答。你是怎么想的？学生说想法。能用算式表示吗？学生回答，师板书算式。如果把6支铅笔放入5个杯子呢？学生回答。用算式表示是？学生回答，师板书算式。把7支铅笔放入6个杯子呢？把8支铅笔放入7个杯子呢？把10支铅笔放入9个杯子呢？把100支铅笔放入99个杯子呢？

你有什么发现？学生总结。（预设：至少数=商数+余数）

【设计意图】此环节让学生充分体会用平均分的好处，用除法算式表示出来，形象直观，便于学生理解，帮助学生建立模型。

2.完善模型

如果物体的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？

7只鸽子飞回5个鸽舍,总有一个鸽舍里至少有几只鸽子？可以和你组里的同学交流一下。找一代表汇报。

先让得出“总有一个鸽舍里至少有3只鸽子”的学生说想法。其他组的同学提出疑问。可以用算式表示吗？学生说算式，师板书。

【设计意图】通过小组合作，学生之间争论，使学生理解余数不是1的情况，要保证得到至少数，余数也要尽量平均分，将过程用除法算式表示出来，为总结至少数与商、余数的关系做好铺垫。

（三）深入研究，验证模型

刚才同学们都表现得非常棒，老师有几道难题想继续请教大家，行吗？

把5本书放入2个抽屉，你能得出什么结论？学生说想法。把7本书放入2个抽屉呢？把9本书放入2个抽屉里呢？8只鸽子飞进3个鸽舍，总有一个鸽舍里至少飞进几只鸽子？小组合作，共同完成。

教师巡视、指导。哪个小组愿意展示一下？指一组展示交流。你们的结果和他们组一样吗？说说你们组有什么发现？你们的发现和他们相同吗？根据学生的回答板书：至少数=商数+1

是不是所有情况至少数都等于商数加1呢？如：我们班有72人，至少有多少人在同一个月过生日？（ 6人）师：不是商数加1吗？应该7人才对呀？小组讨论。

得出结论：有余数时，求至少数才能用商数加1，没有余数的商数就不用加1。

同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理——抽屉原理，也是我们今天研究的“鸽巢问题”（板书课题）。

一起看大屏幕（介绍抽屉原理的相关知识）

最先发现这一规律的人是德国数学家“狄里克雷”，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做 “抽屉原理”。

抽屉原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“抽屉”，谁是“物体”。像刚才的问题中，谁相当于“抽屉”?谁相当于“物体”？(杯子和鸽巢相当于“抽屉”，铅笔和鸽子相当于“物体”)

现在，你能利用这一原理揭秘课前的魔术了吗？五张牌相当于物体，四种花色相当于抽屉，五张牌中至少有两张是同一花色的。

【设计意图】通过小组合作，解决每个问题，验证刚才得出的结论即“至少数=商+1”是否适用商不是1的情况，用得到的原理揭秘课前魔术，进一步巩固模型。

三、利用模型，训练检测

抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见。你能举出生活中应用抽屉原理的例子吗？学生举例并利用原理作出解释。

(1)我们班有75位学生，至少有几人是在同一个月出生的？

(2)同学们之间非常流行用星座测性格和运势，你们信吗？为什么？

学生解释。师总结：全国13亿人中，至少得有多少人是同一星座啊！我们要相信科学，用科学的眼光看待问题，用科学的方式分析问题，用科学的方法解决问题。