24.1圆的有关性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）
展开24.1圆的有关性质人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）
- 如图，在半径为的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点若是的中点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，中，，，，以为圆心、为半径作，延长交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
- 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D. 平分
- 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为 ( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是( )
A.
B.
C. ≌
D.
- 如图，半径为的的弦，且于，连结、，若，则半径的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
- 如图，点，，，在上，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 下列命题是真命题的是( )
A. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
- 如图，在中，是直径，，，，那么的长等于( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
- 如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______．
- 如图所示，是的直径，弦于，，，则的半径是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 已知：如图，为锐角三角形，，．
求作：线段，使得点在直线上，且．
作法：以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；
连接．
线段就是所求作的线段．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：，
______．
，
点在上．
又点，都在上，
______填推理的依据．
．
- 已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，如图所示．
求证：
若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，求的长．
- 如图，、是的直径，、是弦，且，求证：．
- 如图，在中，，以为直径的与边，分别交于，两点，过点作于点．
求证：；
连结若四边形为菱形，，求的长．
- 已知：如图，在中，，以为直径的交于点，为的中点．
求证：；
延长、交于点，若，，求的长．
- 已知中，，为钝角，以为直径的交于点，的延长线与相交于点，连结．
求证：．
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
连接，交于，根据垂径定理得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接，交于，
是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，，
，．
，．
根据勾股定理，得，
即，解得，
．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系求出，根据圆周角定理求出，计算即可．
【解答】
解：连接，
四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接，由的半径弦于点，，，根据垂径定理可求得，然后设，利用勾股定理可得方程：，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得的长，又由是直径，可得，继而求得答案．
【解答】
解：如图，连接，设的半径为，
，，
在中，，，
由勾股定理，得，
，解得，
，
是的中点，是的中点，
是三角形的中位线，
，
为的直径，
，
在中，．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】
解：连接，过点作于点，交于点，
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为．
6.【答案】
【解析】解：为直径，
，
四边形为平行四边形，
，，
，所以选项正确；
由垂径定理得到
根据三角形的中位线得到，选项B正确；
，所以选项的结论错误；
，，
平分，所以选项的结论正确．
故选：．
利用圆周角定理得到，再根据平行四边形的性质得到，；利用，可对选项进行判断；利用垂径可判断为的中位线，则，可对选项进行判断；同时得到，则可对选项进行判断．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项A成立；
，选项B成立；
，选项D成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项C不成立；
故选：．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；
由平行线的性质得出，选项B成立；
由垂径定理得出，选项D成立；
和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．
9.【答案】
【解析】解：弦，
，
，
，
；
连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接，，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10.【答案】
【解析】解：连接，设的半径为，则，，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
，
故选：．
连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，得出，求出，再求出，最后根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，作点关于的对称点，则点在上，连接交于，此时最小，即，
点是的中点，，
，
，
，
，
是正三角形，
，
又，
周长的最小值为，
故选：．
根据轴对称的性质得到：点关于的对称点，连接交于，此时最小，即周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，如图所示，
，
．
，
．
在中，
，
．
，
．
故选：．
连接，可得是直角三角形，利用圆周角定理可得，在中，，利用三角函数可求出的长．
本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情真假的陈述语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
A、根据全等三角形的判定方法，判断即可．
B、根据垂径定理的推论对进行判断；
C、根据平行四边形的判定进行判断；
D、根据平行线的性质进行判断．
【解答】
解：、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦非直径的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故选：．
14.【答案】
【解析】解：连接，交于点，如图，
，
，，，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
连接，交于点，如图，利用垂径定理得到，，再利用互余计算出，则根据圆周角定理得到，所以，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、，交于，如图，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
，
，，
在中，，
在中，，
解由组成的方程组得到，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出．
【解答】
解：连接，如图所示：
是的直径，弦于，
，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半径是；
故答案为：．
17.【答案】解：如图，即为补全的图形；
；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【解析】
【分析】
本题考查了作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
根据作法即可补全图形；
根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解答】
解：见答案；
证明：，
．
，
点在上．
又点，都在上，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
18.【答案】证明：如图，过点作于点，连结，由垂径定理可得，．
，即．
解：由可知，
，又，，
，
．
．
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用及直角三角形勾股定理的应用
过作的垂线，根据垂径定理可得
根据勾股定理可求得的长度．
19.【答案】方法一
证明：、是的直径，
弧弧．
，
弧弧．
弧弧弧弧．
即弧弧．
．
方法二
证明：如图，连接，．
、是的直径，
直径所对的圆周角是直角．
，，
≌．
．
【解析】根据在同圆中等弦对的弧相等，、是的直径，则弧弧，由，得，弧弧，由等量减去等量仍是等量得：弧弧弧弧，即弧弧，由等弧对的圆周角相等，得．
本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解．
20.【答案】证明：如图，连接．
是直径，
，
，
，
．
解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
．
【解析】如图，连接利用圆周角定理以及等腰三角形的性质即可解决问题．
证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
证明：连结
为弧的中点．
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】想办法证明，即可解决问题．
连结，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：连接．
为直径，
，
，
又，
，
，，
，
．
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
是直径，
，
．
【解析】连接想办法证明，即可解决问题；
由∽，推出，可得，在中，利用勾股定理即可解决问题；
本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
