23.2中心对称 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）

23.2中心对称人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法中，错误的是(    )

A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 三角形的三边分别为、、，若满足，那么该三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称

3. 如图，在矩形中，，点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一个花园的平面图呈矩形，被分割成个正方形和个矩形后仍是中心对称图形，若只知道原来矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 雪花、风车展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为(    )

A. 扇形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 矩形

6. 将数字“”旋转，得到数字“”，将数字“”旋转，得到数字“”，现将数字“”旋转，得到的数字是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，矩形的对角线交点为原点，设点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，是其中个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 年月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是(    )

A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形
C. 它的外角和是 D. 它的每个内角都是

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，在矩形中，点，分别是，的中点，连结和，分别取，的中点，，连结，，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
12. 把个边长为的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点的直线将这个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是______．

13. 如图，在矩形中，点，分别是，的中点，连结和，分别取，的中点，，连结，，若，，则图中阴影部分的面积为_________．
14. 如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
    与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为______．
    的面积为______．
    将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______．

16. 如图，在四边形中，，是上一点，点与点关于点中心对称，连接并延长，与延长线交于点．
    填空：是线段的______，点与点关于点______成中心对称，若，则是______三角形．
    四边形的面积为，求的面积．

17. 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
    在图中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
    在图中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
     

18. 仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．
    如图，四边形为平行四边形，过点作一条直线平分平行四边形的面积；
    如图，已知，，点在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；
    如图，四边形为菱形，为的中点，画出的中点．
     

19. 如图，已知和点，作，使与关于点成中心对称．

20. 如图，在中，，与关于点成中心对称，连接，．
     

若四边形的面积为，求的面积．

当为多少度时，四边形是矩形并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，中心对称图形，掌握定理和性质是解题的关键，根据角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，中心对称图形概念判断即可．
【解答】
解：角平分线上的点到角两边的距离相等，故A不合题意；
B.平行四边形的对角线互相平分，故B不合题意；
C.三角形的三边分别为、、，若满足，那么该三角形是直角三角形，故C不合题意；
D.如果两个三角形全等，那么这两个图形不一定关于某点成中心对称，关于某点中心对称的两个三角形全等，故D合题意；
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，

由折叠得：，
又，
≌，
，
最短时，也就最短，
而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，
，
即的最小值是，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．
过点作，
点为矩形的对称中心，
，
中，，
中，，
，
面积的最小值是．
故选：．
在上截取，连接，证明≌，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
本题考查中心对称、轴对称、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到的最小值．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，
则，
根据图示，可得，
，可得：，
，
，或，
，，
图形的周长是，图形的周长是，值为一定，
图形的周长是定值，不用测量就能知道，图形的周长不用测量无法知道．
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为．
故选：．
首先设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，判断出，，；然后分别判断出图形、图形的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
此题主要考查了整式的加减，中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
 

5.【答案】 

【解析】解：扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.矩形是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键直接利用中心对称图形的性质结合的特点得出答案．
【解答】解：根据数字“”和“”的特点及旋转的定义知，数字“”旋转得到“”．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：将图形绕着一点旋转后能和它本身重合的图形是中心对称图形，
选项B符合上述特征，
故选：．
利用中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了中心对称图形，数学常识，准确利用中心对称图形的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质，点的坐标等知识，熟知点的坐标特征是解题的关键方法一：因为矩形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称，从而根据点坐标可求点坐标．方法二：根据矩形的性质，证明≌，得出，，然后由点坐标求出，，再由所在象限求出的坐标．
【解答】
方法一：解：矩形形是中心对称图形，所以当其对角线的交点为原点时，则点与点关于原点对称，
，
，
故选C；
方法二：如图所示：

是矩形，
，，，
，
在和中，

，
，，
，
，，
，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，经过、的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知≌≌，
，
，
，
，
故选：．
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正九边形是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.正九边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.正九边形的外角和为，故本选项不合题意；
D.正九边形的每个内角度数为，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A、，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；
根据多边形的内角与外角可判断选项C；根据多边形的内角和公式可判断选项D，多边形内角和定理：且为整数．
本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据矩形的中心对称性判定阴影部分面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分面积等于矩形面积的一半，再根据矩形的面积公式即可得出答案．
【解答】
解：点，分别是，的中点；，是，的中点，
矩形绕中心旋转，阴影部分恰好能够与空白部分重合，
阴影部分的面积矩形的面积，
，，
阴影部分的面积．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：如图，
经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，
，
而，
，
，
点坐标为，
设直线方程为，
则，
，
直线解析式为
故答案为：
设直线和八个正方形的最上面交点为，过作于，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出的坐标即可得到该直线的解析式．
此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作轴，作轴，根据题意即得到：直角三角形，利用三角形的面积公式求出的长．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：点，分别是，的中点，，是，的中点，
矩形绕中心旋转，阴影部分恰好能够与空白部分重合，
阴影部分的面积矩形的面积，
，，
阴影部分的面积．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：与关于点成中心对称，
，
，，
，
，
，
故答案为．
利用中心对称图形与全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】     

【解析】解：，
．
故答案为：．
的面积为：．
故答案为：．
根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：．
故答案为：．
根据关于原点成中心对称的点的特征求救；
利用割补法求三角形的面积；
利用作图观察求解．
本题考查了函数图象与坐标的关系，结合三角形的面积，中心对称来求解是解题的关键．
 

16.【答案】中点    等腰 

【解析】解：点与点关于点中心对称，
是线段的中点，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点与点关于点成中心对称，
，
，
则是等腰三角形．
故答案为：中点，，等腰；

≌，
与面积相等，
的面积等于四边形的面积，
四边形的面积为，
的面积为．
利用中心对称的定义回答即可，然后证得，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
得到三角形的面积等于三角形的面积，从而得到答案．
本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
 

17.【答案】解：作点关于直线的对称点，连接，四边形为筝形，符合题意．

将点向右平移个单位，再向上平移个单位可得点，连接，且，
四边形为矩形，符合题意．
 

【解析】作点关于直线的对称点，四边形为筝形．
将点向右平移个单位，再向上平移个单位可得点，四边形为平行四边形．
本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．
 

18.【答案】解：如图，直线即为所求；

如图，射线即为所求；

如图，点即为所求；
 

【解析】连接，交于点，过点，作直线，交于，同直线平分▱的面积；
连接，交于点，作射线，则平分；
连接交于，延长，交于点，交于，则是的中点．
本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，牢记过平行四边形的对角线交点的直线平分三角形的面积是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图．

连结并延长到，使，则点即点关于点成中心对称的对称点．

同理，作出点，的对称点，．

连结，，．

即为所求作的三角形．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：与关于点成中心对称，

点，，共线，点，，共线，，．

四边形是平行四边形．

．

当时，四边形是矩形理由如下：
，，
是等边三角形．
．
又，，
．

又四边形是平行四边形，

四边形是矩形．

【解析】见答案