21.2解一元二次方程 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）
展开21.2解一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
- 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为( )
A. B. C. 或 D. 或
- 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
- 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个
- 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B.
C. 且 D.
- 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
- 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值( )
A. 或 B. 或 C. D.
- 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
- 已知、、、为互不相等的实数，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
- 已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
- 已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
- 若，则______．
- 已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为______．
- 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围． - 已知关于的一元二次方程．
若该方程有实数根，求的取值范围
若时，方程的根为，，求的值． - 已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根为、，且，求的值． - 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，满足，求的值． - 已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．
- 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．
求的取值范围；
若是负整数，求实数的整数值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为，然后计算菱形的面积．
【解答】
解：，
所以，，
菱形一条对角线长为，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：方程的左边变形为：，
，即或，
解得：或，
则的值为或．
故选：．
把方程左边的第一、三项写出完全平方的形式，根据完全平方公式的特点：两数的平方和加上或减去这两个数积的倍，等于两数和或差的平方，得到第二项为第一、三项平方底数积的倍，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，也考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．同时本题的值有两解，注意不要漏解．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一次方程，解为，
当时，关于的方程是二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
化简得：，
时满足．
故选：．
由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的一元二次不等式，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】
解：根据的图象可得，，
所以，，
因为，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，先把已知条件变形得到，，则可把、看作方程的两实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到的值．
【解答】
解：，，
，，
而、、、为互不相等的实数，
、看作方程的两实数根，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，及勾股定理．
设矩形的长和宽分别为、，由根与系数的关系得出，，将其代入到矩形对角线的长计算可得．
【解答】
解：设矩形的长和宽分别为、，
根据题意知，，
则矩形对角线的长为
，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算可得．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了换元法解一元二次方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．设，则原方程转化为关于的一元二次方程．解一元二次方程即可．
【解答】
解：设，则原方程转化为，
即，
解得，，
不小于，
，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：，是关于的方程的两个实数根，
，．
，即，
，
整理，得：，
解得：，．
关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而即可确定值，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
，
，
故答案为．
先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，再将其代入所求式子即可求解．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到是解题的关键．
15.【答案】证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根；
解：，
即，
即，
，．
方程有一根小于，
，
解得：，
的取值范围为．
【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
16.【答案】关于的一元二次方程有实数根，
则，
即，
．
当时，，
，．
．
．
【解析】见答案
17.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
方程的两个实数根为、，
，，
，
，即，
解得：．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程．
根据方程的系数，结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，
解得：，
的取值范围为．
关于的一元二次方程有两个实数根，，
，．
，
当时，有，
联立解得：，，
，；
当时，有，
联立解得：，不合题意，舍去．
符合条件的的值为．
【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值．
19.【答案】解：解不等式，得，
最小整数解为，
将代入方程，得，
配方，得．
直接开平方，得．
解得，．
【解析】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
先解不等式，得，所以最小整数解为，于是将代入方程得利用配方法解方程即可．
20.【答案】解：原方程有两实数根，
且．
、是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
是负整数，
是负整数，即是正整数．
是整数，
的值为、、或，
的值为、、或．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组；根据根与系数的关系结合是负整数，找出是正整数．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系结合是负整数，即可得出是正整数，再由为整数，即可求出值．
