22.1二次函数的图形与性质 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）

22.1二次函数的图形与性质人教版初中数学九年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点下列结论：，，，，其中正确的结论个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

2. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
   ；；；当时，随的增大而减小．
   其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论：
   ；；；，
   正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在四边形中，，，，，动点，同时从点出发，点以的速度沿向终点运动，点以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法错误的是(    )

A.
B. 图象的对称轴为直线
C. 点的坐标为
D. 当时，随的增大而增大

8. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

9. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 已知二次函数为常数，，当自变量分别取，，时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为______用“”连接．
12. 对某条线段的长度进行了次测量，得到个结果单位：，，，若用作为这条线段长度的近似值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果单位：，，，，若用作为这条线段长度的近似值，当______时，最小．
13. 写出一个二次函数，其图象满足：开口向下；与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______．
14. 二次函数的对称轴为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
    求抛物线的解析式及点的坐标；
    点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．

16. 已知二次函数．

将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值

当时，求的值

当时，求的值．

17. 如图，抛物线经过，两点，点为抛物线的顶点，连接，点为的中点请解答下列问题：
    
     

求抛物线的解析式及顶点的坐标

在轴上找一点，使的值最小，则的最小值为          ．

18. 已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式；
    设点，在抛物线上，若，求的取值范围．
19. 已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．

求的值；

若点在抛物线上，且到轴的距离是，求点的坐标．

20. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点．
     

求，，的值

求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴求出与的关系．
【解答】
解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
．
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
对称轴为，得，即，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，
，即故正确．
综上所述，有个结论正确．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，结论正确；
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，结论正确；
抛物线与轴由两个交点，
，即，结论正确；
抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，结论错误；
故选：．
二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故正确；
结论正确的是，个，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：抛物线：，
抛物线的顶点为，
向左平移个单位长度，得到抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的开口方向相反，顶点为，
抛物线的解析式为，
故选：．
根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式．
本题主要考查了二次函数图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．
 

5.【答案】 

【解析】解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点的坐标为，
所以平移后得到的抛物线解析式为．
故选：．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图中，当时，过点作于．

，
如图中，当时，连接，，

如图中，当时，连接，，

由此可知函数图象是选项B，
故选：．
分三种情形：如图中，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，根据二次函数的性质解决问题即可．
【解答】
解：二次函数图象开口向下，则，
由抛物线的解析式可知对称轴为直线，
，，关于对称，
，
故A，，C正确，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；故D错误，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
当时，若，则，故选项B错误；
当时，若，则，故选项A错误；
若，则，故选项C正确；
若，则，故选项D错误；
故选：．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象过点、、，
抛物线的对称轴直线满足，抛物线的开口向上，
抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
、、，
则，
故选：．
由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当抛物线经过时，，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故选：．
求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
二次函数图象开口向下，
又对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
，
，
自变量分别取，，时，所对应的函数值最大，最小，
．
故答案为：．
根据二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线，然后利用增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性，理解各点距离对称轴的远近是解题的关键．
 

12.【答案】  ；   

【解析】解：设，
开口方向向上，
当时，有最小值，
设，
，
当时，有最小值．
故答案为，．
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
抛物线开口向下，
．
抛物线与轴的交点坐标为，
．
取，时，二次函数的解析式为．
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
由抛物线对称轴为直线．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

15.【答案】解：抛物线与轴正半轴分别交于点，
点，，
，
点，
，
或舍去，
抛物线解析式为：，
，
顶点的坐标为；
，
对称轴为直线，
点，为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，
点的横坐标为或，点的横坐标为，
点坐标为或，点坐标，
点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，
当，在对称轴的同侧时，，
当，在对称轴的两侧时，，
点的纵坐标的取值范围为：或． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
先求出点，点坐标，代入解析式可求的值，即可求解；
先求出点，点坐标，即可求解．
 

16.【答案】解：．
其中，，．

当时，．

当时，

即，

解得或．

【解析】见答案
 

17.【答案】解：抛物线经过点，，

解得

抛物线的解析式为．

．

．

 
理由：，，

的中点的坐标为，其关于轴的对称点的坐标为．

连接与轴交于点，则最小，且最小值为．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为直线，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时， 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点在轴上得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式；
根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出的取值．
 

19.【答案】解：抛物线的对称轴是轴，
，解得，；
又抛物线与轴有两个交点．
，
．
此时抛物线的关系式为，
因此的值为．
点在抛物线上，且到轴的距离是，
点的横坐标为或，
当时，
当时，．
或，
因此点的坐标为：或． 

【解析】根据抛物线的对称轴为轴，则，可求出的值，再根据抛物线与轴有两个交点，进而确定的值和抛物线的关系式；
由于对称轴为轴，点到轴的距离为，可以转化为点的横坐标为或，求相应的的值，确定点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
 

20.【答案】解：把点的坐标代入 中，得，

．

二次函数是．

把点的坐标代入中，得，

，
把和的坐标代入中，

得解得

，，．

令中，则，
．
．

 ，

，

．

【解析】见答案