21.2 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程(名师精品原创教案)

21.2　解一元二次方程

21．2.1　配方法

第1课时　用直接开平方法解一元二次方程

1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．

2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．

3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

▲重点

运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．

▲难点

通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．

◆活动1　新课导入

求下列各数的平方根：

(1)144；　　　　　(2).

解：原式＝±12;    解：原式＝±.

◆活动2　探究新知

1．教材P5　问题1.

提出问题：

(1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为xdm，则这个正方体的表面积是多少？

(2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列出方程；

(3)你能根据平方根的意义解方程x2＝25吗？本题中负值为什么要舍去？

学生完成并交流展示．

2．教材P6　第1个探究．

提出问题：

(1)(__±__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？

(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；

(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？

(4)上述所解方程有什么共同点？

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－，x2＝__；(2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，根据平方根的意义，方程__无__实数根．

提出问题：

(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？

(2)请谈谈如何降次．

2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为__两个一元一次__方程．

◆活动4　例题与练习

例1　解方程：(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.

解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)y1＝5，y2＝－5；(3)p1＝，p2＝－.

例2　解方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；(2)y2－4y＋4＝8；(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.

解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5，直接开平方得2x－1＝±，∴原方程的根为x1＝，x2＝；(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得y－2＝±2，∴原方程的根为y1＝2＋2，y2＝2－2；(3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，∴x1＝－，x2＝－.　

例3　已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．

解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2，∴原方程为(x－3)2＝9，∴另一个根为x＝0.

练习

1．教材P6　练习．

2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为(　C　)

A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．不能确定

3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(　A　)

A．8　　　　B．8或－2　　C．－2　　　　D．28

4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±__．

◆活动5　课堂小结

1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±，再解两个一次方程即可求得解．

2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．

1．作业布置

(1)教材P16　习题21.2第1题；

(2)对应课时练习．

2．教学反思