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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性导学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性导学案,共11页。

      3.1.3 函数的奇偶性

    最新课程标准:结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.

     

    知识点 偶、奇函数

    1.偶函数

    一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.

    2.奇函数

    一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数.

    3.奇、偶函数的图像特征

    (1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形;反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

    (2)偶函数的图像关于y轴对称;反之,如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数是偶函数.

     奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.

    [基础自测]

    1设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是(  )

    A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0

    C.f(x)·f(-x)<0      D.f(0)=0

    解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x),

    所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.

    f(-x)·f(x)=[f(x)]2≥0,

    f(0)=0不一定成立.故选B.

    答案:B

    2.下列函数为奇函数的是(  )

    A.y=|x|  B.y=3-x

    C.y=   D.y=-x2+14

    解析:A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.

    答案:C

    3.若函数y=f(x),x∈[-2,a]是偶函数,则a的值为(  )

    A.-2    B.2

    C.0      D.不能确定

    解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以-2+a=0,所以a=2.

    答案:B

    4.下列图像表示的函数是奇函数的是________,是偶函数的是________.(填序号)

    解析:(1)(3)关于y轴对称是偶函数,(2)(4)关于原点对称是奇函数.

    答案:(2)(4) (1)(3)

     

     

    题型一 函数奇偶性的判断[教材P102例1]

    例1 判断下列函数是否具有奇偶性:

    (1)f(x)=x+x3+x5

    (2)f(x)=x2+1;

    (3)f(x)=x+1;

    (4)f(x)=x2,x∈[-1,3].

    【解析】 (1)因为函数的定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

    又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x),

    所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.

    (2)因为函数的定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

    又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),

    所以函数f(x)=x2+1是偶函数.

    (3)因为函数的定义域为R,所以x∈R时,-x∈R.

    又因为f(-1)=0,f(1)=2,所以f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),

    因此函数f(-x)=-x+1既不是偶函数也不是奇函数.

    (4)因为函数的定义域为[-1,3],而3∈[-1,3],但-3[-1,3],所以函数f(x)=x2,x∈[-1,3]既不是奇函数也不是偶函数.

     

    教材反思

    函数奇偶性判断的方法

    (1)定义法:

    (2)图像法:若函数的图像关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图像关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空题中.

     

    跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性:

    (1)f(x)=x2(x2+2);

    (2)f(x)=|x+1|-|x-1|;

    (3)f(x)=

    (4)f(x)=

    解析:(1)∵x∈R,∴-x∈R.

    又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),

    ∴f(x)为偶函数.

    (2)∵x∈R,∴-x∈R.

    又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),

    ∴f(x)为奇函数.

    (3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1].

    即有-1≤x≤1且x≠0,

    则-1≤-x≤1,且-x≠0,

    又∵f(-x)==-=-f(x),

    ∴f(x)为奇函数.

    (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.

    当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);

    当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).

    综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.

    先求函数定义域,再根据函数奇偶性定义判断.

    题型二 函数奇偶性的图像特征[经典例题]

    例2 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图像如图,则不等式f(x)<0的解集是________.

      

    【解析】 由奇函数的性质知,其图像关于原点对称,则f(x)在定义域[-5,5]上的图像如图,由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|-2<x<0或2<x≤5}.

    【答案】 {x|-2<x<0或2<x≤5}

    根据奇函数的图像关于原点对称作图,再求出f(x)<0的解集.

    方法归纳

    根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时,应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像,根据图像特征求解问题.

     

    跟踪训练2 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较f(1)与f(3)的大小.

     

    解析:方法一 因函数f(x)是偶函数,

    所以其图像关于y轴对称,补全图如图.

    由图像可知f(1)<f(3).

    方法二 由图像可知f(-1)<f(-3).

    又函数y=f(x)是偶函数,

    所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),

    故f(1)<f(3).

    方法一是利用偶函数补全图像,再比较f(1)与f(3)的大小;

    方法二f(1)=f(-1),f(3)=f(-3),观察图像判断大小.

    题型三 利用函数奇偶性求参数[经典例题]

    例3 (1)设函数f(x)=为奇函数,则a=________;

    (2)已知函数f(x)=是奇函数,则a=________.

    【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知f(-x)=-f(x),

    =-.

    显然x≠0得,x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,

    故a+1=0,得a=-1.

    方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得f(-1)=-f(1),

    =-

    整理得a=-1.

    (2)(特值法) 由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1),

    即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1),

    整理得a-1=0,解得a=1.

    【答案】 (1)-1 (2)1

    利用定义法求a,也可利用特值法f(-1)=-f(1).

     

    方法归纳

    由函数的奇偶性求参数应注意两点

    (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.

    (2)利用常见函数如一次函数,反比例函数,二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.

    跟踪训练3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-2,2a],则a=________,b=________;

    (2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=________.

    解析:(1)由f(x)为偶函数知,其定义域关于原点对称,

    故有a-2+2a=0,解得a=.

    又f(x)为偶函数,所以其图像关于y轴对称,

    即-=0,解得b=0.

    (2)由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,

    所以a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=0.

    即2ax2=0,所以a=0.

    答案:(1) 0 (2)0

    (1)函数具有奇偶性,定义域必须关于(0,0)对称.

    (2)f(0)=0?

    题型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]

    例4 已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.

    【解析】 ∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,

    ∴f(-x)=-f(x),

    ∴f(1-x)+f(1-3x)<0可化为f(1-x)<-f(1-3x),

    即f(1-x)<f(3x-1).

    又∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数,

    ∴f(1-x)<f(3x-1)

    ∴0<x<.即不等式解集为.

     1.由奇函数得f(-x)=-f(x).

    2.函数单调递减,若f(x1)<f(x2)得x1>x2.

    3.定义域易忽略.

     

    方法归纳

    1函数奇偶性和单调性的关系

    (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.

    (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.

    2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法

    (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f”求解.

    (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.

     

    跟踪训练4 (1)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,若f(1-a2)+f(1-a)<0,求实数a的取值范围.

    (2)定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.

    解析:(1)由f(1-a2)+f(1-a)<0,得f(1-a2)<-f(1-a).

    ∵y=f(x)在[-1,1]上是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1),∴f(1-a2)<f(a-1).

    又f(x)在[-1,1]上单调递减,

    解得

    ∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1).

    (2)∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).

    ∴f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|).

    ∴原不等式等价于解得-1≤m<.

    ∴实数m的取值范围是.

     (1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系,再利用单调性转化为自变量的关系.

    (2)两个自变量1-m,m不一定属于同一单调区间,可考虑用绝对值表示来处理.

     

     

     

     

     

    课时作业 18

    一、选择题

    1.下列函数是偶函数的是(  )

    A.y=2x2-3     B.y=x3

    C.y=x2,x∈[0,1]  D.y=x

    解析:对于A,f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),∴f(x)是偶函数,B,D都为奇函数,C中定义域不关于原点对称,函数不具备奇偶性,故选A.

    答案:A

    2.函数f(x)=-x的图像(  )

    A.关于y轴对称      B.关于直线y=x对称

    C.关于坐标原点对称  D.关于直线y=-x对称

    解析:∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),∴f(x)是奇函数,图像关于原点对称.

    答案:C

    3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)+f(-1)的值为(  )

    A-2    B.2

    C.1      D.0

    解析:由图知f(1)=,f(2)=

    又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-=-2.故选A.

    答案:A

    4.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 019)=k,则f(-2 019)=(  )

    A.k     B.-k

    C.1-k  D.2-k

    解析:∵f(2 019)=a·2 0193+b·2 019+1=k,∴a·2 0193+b·2 019=k-1,则f(-2 019)=a(-2 019)3+b·(-2 019)+1=-[a·2 0193+b·2 019]+1=2-k.

    答案:D

    二、填空题

    5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.

    解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,

    ∴a-1+2a=0,∴a=.又f(-x)=f(x),

    ∴b=0,∴a+b=.

    答案:

    6.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为________.

    解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.

    答案:5

    7.定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f=0,则满足f(x)>0的x的集合为____________.

    解析:由奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f=0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且f=0,∴x>或-<x<0.

    答案:

    三、解答题

    8.判断下列函数的奇偶性:

    (1)f(x)=

    (2)f(x)=x2-x3

    (3)f(x)=|x-2|-|x+2|;

    (4)f(x)=x2(x≠0,a∈R).

    解析:(1)∵函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠1},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

    (2)f(x)的定义域为R,是关于原点对称的.

    ∵f(-x)=(-x)2-(-x)3=x2+x3,又-f(x)=-x2+x3

    ∴f(-x)既不等于f(x),也不等于-f(x).

    故f(x)=x2-x3既不是奇函数也不是偶函数.

    (3)方法一(定义法) 函数f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为R,关于原点对称.

    ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x),∴函数f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数.

    方法二(根据图像进行判断)

    f(x)=|x-2|-|x+2|=

    画出图像如图所示,图像关于原点对称,因此函数f(x)是奇函数.

    (4)当a=0时,f(x)=x2为偶函数.

    当a≠0时,f(x)=x2(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,即f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

    综上所述,当a∈R且a≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数;当a=0时,函数f(x)为偶函数.

    9.已知函数f(x)=1-.

    (1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;

    (2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.

    解析:(1)由已知g(x)=f(x)-a得,

    g(x)=1-a-

    ∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),

    即1-a-=-

    解得a=1.

    (2)函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.

    证明如下:

    设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)

    =1-

    ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,

    从而<0,即f(x1)<f(x2).

    ∴函数f(x)在(0,+∞)内是增函数.

     

    [尖子生题库]

    10已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.

    (1)求出函数f(x)在R上的解析式;

    (2)画出函数f(x)的图像.

    解析:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,

    则f(0)=0;

    ②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,

    ∴f(-x)=-f(x),

    ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,

    综上,f(x)=

    (2)图像如图:

     

     

     

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