高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质练习

第2课时　单调性与值域

基础过关练

　题组一　正、余弦(型)函数的单调性

1.函数f(x)=cos的单调递减区间是　　　　　　　. 

2.函数y=2sin(ω>0)的周期为π,则其单调递增区间为　　　　　　　. 

3.函数f(x)=sin,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.  

题组二　利用正、余弦函数的单调性比较大小

4.(2021安徽淮北树人高级中学月考)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则(　　)

A.a>c>b　　　　　　B.c>b>a

C.c>a>b　　　　　　D.b>c>a

5.(多选)下列不等式中成立的是(　　)

A.sin>sin      B.cos 400°>cos(-50°)

C.sin 3>sin 2           D.sin >cos

6.比较下列各组数的大小:

(1)sin 220°与sin 230°;

(2)cos 与cos ;

(3)sin与cos.

题组三　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值

7.函数f(x)=2sin 2x的最小正周期和最大值分别是(　　)

A.2π,2　　　　　B.π,2　　　　　C.2π,1　　　　　D.π,1

8.y=sin x-|sin x|的值域是(　　)

A.[-1,0]　　　　　　B.[0,1]

C.[-1,1]　　　　　　D.[-2,0]

9.函数y=的最小值是(　　)

A.2　　　　　B.-2　　　　　C.1　　　　　D.-1

10.(2020山东安丘实验中学期中)已知函数f(x)=2sin,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1,x2∈R)成立,则|x1-x2|的最小值为　　　　.  

11.已知函数f(x)=1-sin2x+sin x,当x=　　　　时, f(x)取得最大值. 

12.(2022山东临沂期末)已知函数f(x)=3sin.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

能力提升练

题组一　正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值

1.(多选)∀x∈R,a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是(　　)

A.a=0　　　　　　B.a≤1

C.a=1　　　　　　D.a=3

2.(2022北京海淀期末)若函数y=sin在[0,m]上单调递增,则m的最大值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1

3.(2020福建八县(市)期末联考)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是 (　　)

A.　　　　　　B.(0,2]

C.　　　　　　D.

4.(2022湖北襄阳期末)若关于x的方程cos2x-sin x+a=0在内有解,则实数a的取值范围是　　　　. 

5.已知函数f(x)=2sin+1.

(1)求函数f(x)的周期;

(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调区间;

(3)若对任意x∈R,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,试求m的取值范围.

题组二　正、余弦(型)函数性质的综合运用

6.(多选)(2022吉林长春期末)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1)<f(x2)恒成立的有(　　)

A.-π≤x1<x2≤0　　　　　　B.0≤x1<x2≤π

C.|x1|>|x2|　　　　　　D.≤

7.(2020辽宁六校期中联考)函数f(x)=2sin-m,若f(x)≤0在x∈上恒成立,则m的取值范围是　　　　;若f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解,则m的取值范围是　　　　. 

8.已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-.

(1)求a,b的值;

(2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出取最小值时x的集合.

9.(2020山东泰安期末)从①函数f为奇函数;②当x=时, f(x)=;③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<, f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,　　　　　.  

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.

10.已知函数f(x)=3sin是奇函数.

(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并写出取得最大值、最小值时自变量的取值集合;

(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.

答案全解全析

基础过关练

1.答案　(k∈Z)

解析　令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).

2.答案　(k∈Z)

解析　由题意可得=π,∴ω=2,

∴y=2sin.

令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

3.答案　;

解析　f(x)=-sin,x∈[0,π],令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.又0≤x≤π,所以0≤x≤,所以f(x)的单调递减区间为.同理, f(x)的单调递增区间为.

4.A　由已知得b=sin =sin=sin =sin =cos ,

c=cos =cos ,

因为>>>>0,且y=cos x在上是减函数,

所以cos >cos >cos ,即a>c>b,故选A.

5.BD　y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0,∴sin<sin,故A不成立.

cos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°),故B成立.

∵y=sin x在上单调递减,<2<3<π,

∴sin 2>sin 3,故C不成立.

sin =-sin ,cos =-cos =-sin-=-sin .

∵0<<<,且y=sin x在上单调递增,

∴sin <sin ,∴sin >cos ,故D成立.

故选BD.

6.解析　(1)因为函数y=sin x在上单调递减,且90°<220°<230°<270°,所以sin 220°>sin 230°.

(2)cos =cos=cos ,

cos =cos=cos .

因为函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,

所以cos >cos ,即cos >cos .

(3)sin=sin =-sin ,

cos=cos =-cos =-sin .

因为函数y=sin x在上单调递增,且-<<<,

所以sin <sin ,

所以-sin >-sin ,

即sin>cos.

7.B　

8.D　y=sin x-|sin x|=当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,因此函数的值域为[-2,0].

9.B　因为y==2-,所以当sin x=-1时,y=取得最小值-2.

10.答案　4π

解析　因为f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R都成立,所以f(x1)为f(x)的最小值, f(x2)为f(x)的最大值.

|x1-x2|取最小值时,x1与x2必为f(x)在同一周期内的最小值和最大值对应的x,设f(x)的最小正周期为T,则=,又T==8π,所以=4π.

11.答案　

解析　令t=sin x,则y=1-t2+t=-+(0≤t≤1),所以当t=,即x=时,函数取得最大值.

12.解析　(1)因为函数f(x)=3sin,

所以f(x)的最小正周期为=π.

(2)当-≤x≤时,-≤2x+≤,而正弦函数y=sin x在上递增,在上递减,且sin<sin ,

所以当2x+=,即x=时,sin取得最大值1,则f(x)max=3,

当2x+=-,即x=-时,sin取得最小值-,则f(x)min=-,

所以f(x)在区间上的最大值为3,最小值为-.

能力提升练

1.AC　若∀x∈R,a≤2+sin x恒成立,则a≤(2+sin x)min,

又(2+sin x)min=1,所以a≤1,

所以结合选项可知∀x∈R,a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是a=0或a=1.故选AC.

2.C　令-+2kπ≤πx-≤+2kπ,k∈Z,得-+2k≤x≤+2k,k∈Z,

故y=sin在,k∈Z上单调递增,当k=0时,x∈,若函数在[0,m]上单调递增,则0<m≤,

故m的最大值为.故选C.

3.C　∵函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,∴周期T=≥π,解得0<ω≤2.

∵f(x)=sin的单调递减区间满足+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,

∴存在k∈Z,使+≤,+≥π均成立,此时+4k≤ω≤+2k,k∈Z,

∴≤ω≤,即ω的取值范围是,故选C.

4.答案　

解析　方程可化为a=sin x-cos2x,设f(x)=sin x-cos2x=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=-.

由x∈知,sin x∈(-1,1],当sin x=-时, f(x)取得最小值-,当sin x=1时, f(x)取得最大值1,∴f(x)的值域为.

原方程在内有解等价于a=f(x)有解,

∴实数a的取值范围是.

5.解析　(1)函数f(x)的周期为=π.

(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

当k=0时,-≤x≤,

当k=1时,≤x≤.

∵x∈(0,π),

∴函数f(x)在(0,π)上的单调递增区间为,.

同理,函数f(x)在(0,π)上的单调递减区间为.

(3)∵f(x)=2sin+1,

∴-1≤f(x)≤3,∴f(x)+2>0,

∴mf(x)+2m≥f(x)可化为m≥1-,∴若不等式恒成立,只需m≥即可.

∵-1≤f(x)≤3,

∴-1≤1-≤,∴m≥.

6.AC　∵f(x)=cos x-x2,∴f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),

又f(x)的定义域为[-π,π],关于原点对称,

∴f(x)是偶函数.易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,

因此当-π≤x1<x2≤0或0≤x2<x1≤π时,有f(x1)<f(x2),∴A正确,B错误.

由f(x)是偶函数, f(x1)<f(x2),得|x1|>|x2|,∴>,

从而C正确,D错误.故选AC.

7.答案　m≥2;1≤m<2

解析　f(x)≤0可化为m≥2sin,

当x∈时,2x-∈,

所以2sin∈[-1,2],

所以2sin的最大值为2,所以m≥2.

f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解等价于函数y=2sin,x∈与y=m的图象有两个交点.

函数y=2sin,x∈的图象如图所示:

由图可知,1≤m<2.

故答案为m≥2;1≤m<2.

8.解析　(1)∵cos∈[-1,1],b>0,

∴∴

(2)由(1)知a=,b=1,

∴g(x)=-2sin.

∵sin∈[-1,1],

∴g(x)∈[-2,2].

∴g(x)的最小值为-2,

此时sin=1,则x-=2kπ+,k∈Z,

∴x=2kπ+,k∈Z,故取最小值时x的集合为.

9.解析　(1)∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,

∴函数f(x)的最小正周期T==2π,∴ω=1,

∴f(x)=2sin(x+φ).

选条件①.

∵f=2sin为奇函数,

∴φ-=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z.

∵0<φ<,∴φ=,

∴f(x)=2sin.

选条件②.

∵f=2sin=,

∴sin=,

∴+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,

∴φ=2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.

∵0<φ<,∴φ=,

∴f(x)=2sin.

选条件③.

∵是函数f(x)的一个零点,

∴f=2sin=0,

∴+φ=kπ,k∈Z,

∴φ=kπ-,k∈Z.

∵0<φ<,∴φ=,

∴f(x)=2sin.

(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,

令k=0,得-≤x≤,

令k=1,得≤x≤.

∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.

10.解析　(1)由题意得f(0)=0,即3sin=0,因此-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,

而0<φ<,所以φ=,

故f(x)=3sin 2x.

当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值3,

当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-3,

所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是,

f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.

(2)由(1)得g(x)=f=3sin=-3sin,x∈,

令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

又x∈,

所以函数g(x)=f,x∈的单调递增区间为.