2021学年5.3 诱导公式同步测试题

5.3　诱导公式

基础过关练

　题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.sin 的值为(　　)

A.-　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.-

2.(2022江苏宿迁期末)已知角α的终边经过点 P(-2,1),则 cos 的值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.-

3.(2022江苏镇江期末)求值:tan 600°=　　　　. 

4.(2022黑龙江哈尔滨六中期末)sin 510°+cos 660°-

tan 585°=　　　　. 

5.sin cos tan =　　　　. 

题组二　利用诱导公式解决条件求值问题

6.(2022北京东城期末)设cos 28°=a,则cos 62°=(　　)

A.-a　　　　　　B.a        C.　　　　　　D.-

　7.(2022山东德州一中期末)已知sin=,且α∈,则cos的值为(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.-

8.(2022广东深圳罗湖期末)已知sin=-,则cos=(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.-

9.若sin=-,则sin2-sin=　　　　.  

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

10.在△ABC中,cos(A+B)等于(　　)

A.cos C　　　　　B.-cos C　　　　　C.sin C　　　　　D.-sin C

11.(2022天津耀华中学期末)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,若sin=sin,则△ABC一定是(　　)

A.等腰直角三角形　　　　　　B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　　　D.等腰或直角三角形

12.化简:.

13.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).

(1)求sin α-cos α的值;

(2)求的值.

能力提升练

　题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.(2022山东济南期末)已知a=ln 3,b=sin ,,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c　　　　　　B.a>c>b

C.c>b>a　　　　　　D.c>a>b

2.(2022甘肃酒泉期末)设函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x<π时, f(x)=0,则f =(　　)

A.0　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.1

题组二　利用诱导公式解决条件求值问题

3.(2022内蒙古赤峰期末)在平面直角坐标系xOy中,角α和角β的顶点均与原点O重合,始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于直线y=x对称,若cos α=,则sin β=(　　)

A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.

4.(2021四川巴中期末)已知α∈(0,π),若cos=-,则sin的值为(　　)

A.-　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.

5.(2021黑龙江双鸭山一中月考)已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)的值为(　　)

A.　　　　　B.±　　　　　C.　　　　　D.-

6.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)

A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.

7.已知α为锐角,若sin=,则sin=　　　　. 

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

8.(2022安徽合肥一中月考)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是(　　)

A.sin =-cos

B.sin(2A+2B)=-cos 2C

C.sin(A+B)=-sin C

D.sin(A+B)=sin C

9.(2022四川遂宁期末)已知cos α是方程2x2-x-1=0的根,且α是第二象限角,求的值.

10.求证:=.

11.(2020山东日照期末)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=.

(1)求实数m的值;

(2)若m>0,求的值.

12.(2020辽宁省实验中学期中)已知函数f(x)=+.

(1)化简f(x);

(2)若f(α)=,求sin αcos α的值.

13.(2022河北邢台一中月考)已知f(α)=.

(1)化简f(α);

(2)若f(α)=-,且<α<,求cos α-sin α的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　sin =sin=-sin =-,故选A.

2.A　因为角α的终边经过点P(-2,1),所以点P到原点O的距离|OP|==,

根据三角函数的定义,可得sin α==,

所以cos=sin α=.故选A.

3.答案　

解析　由诱导公式可得,tan 600°=tan(360°+240°)=tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=.

故答案为.

4.答案　0

解析　sin 510°+cos 660°-tan 585°=sin 150°+cos(-60°)-tan(180°+45°)=sin 30°+cos 60°-

tan 45°=+-1=0.

5.答案　

解析　sin cos tan =sincos·tan=

sin ··=××(-1)=.

6.C　因为cos 28°=a,所以sin 28°==,

所以cos 62°=cos(90°-28°)=sin 28°=,故选C.

7.C　易得sin=sin

=sin=,

又α∈,∴π-α∈,

∴cos==.故选C.

解题模板　解决条件求值问题的关键是找到已知式和待求式中角的关系,根据此关系结合诱导公式进行转化,从而达到求值的目的.

8.D　∵sin=-,

∴cos=cos=sin=-.故选D.

9.答案　

解析　设+x=θ,则sin θ=-,所以sin2-sin=sin2-sin(π-θ)

=cos2θ-sin θ=1-sin2θ-sin θ=1--=,

故答案为.

10.B　在△ABC中,A+B+C=π,所以A+B=π-C,

所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.

故选B.

11.C　易知在△ABC中,A+B+C=π.由sin=sin可得sin=sin,

所以sin=sin,cos C=cos B,即B=C,故该三角形一定为等腰三角形.

故选C.

12.解析　

=

==1.

13.解析　(1)由已知可得r==5,

根据三角函数的定义知sin α=-,cos α=,

所以sin α-cos α=--=-.

(2)解法一:根据诱导公式知==

===.

解法二:由(1)可知tan α=-,

根据诱导公式知

===

===.

能力提升练

1.B　易知函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,而3>e,则a=ln 3>

ln e=1,

b=sin =sin=-sin =-<0,又函数y=3x在R上单调递增,而-<0,所以0<<30=1,即0<c<1,所以a>c>b.故选B.

2.A　因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,且当0≤x<π时, f(x)=0,

所以f =f =f +sin

=f +sin +sin =0+-=0,

所以f =0.故选A.

3.C　因为角α和角β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2=2kπ+,k∈Z.

故sin β=sin=cos α=.故选C.

4.A　∵cos=-,

∴sin=±=±=±.

∵α∈(0,π),∴-α∈(-π,0),∴-α∈,又∵cos=-<0,∴-α∈,

∴sin=-,

∴sin=sin=sin=-.

故选A.

5.D　因为-270°<α<-90°,所以143°<53°-α<323°,

又sin(53°-α)=>0,所以143°<53°-α<180°,

所以sin(37°+α)=sin[90°-(53°-α)]=cos(53°-α)=-=-=-.故选D.

6.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,

解得sin2α=或sin2α=-8(舍去).

又∵α是第四象限角,

∴sin α=-,

∴cos=cos=-cos

=sin α=-.

7.答案　-

解析　因为α为锐角,所以0<α<,所以<α+<,又因为sin=<=sin ,所以α+为钝角,所以cos=-=-.所以sin=sin=cos=-.故答案为-.

8.D　在△ABC中,A+B+C=π.

对于A,sin =sin=cos ,选项A错误;

对于B,sin(2A+2B)=sin[2(π-C)]=sin(2π-2C)=-sin 2C,选项B错误;

对于C、D,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,选项C错误,选项D正确.

故选D.

9.解析　易知方程2x2-x-1=0的两根分别为-与1,

由于α是第二象限角,则cos α=-,

故sin α=,tan α==-,

故

==-tan α=.

10.证明　右边=

=

=

=

===左边,

所以原等式成立.

11.解析　(1)根据三角函数的定义可得cos α==,解得m=0或m=3或m=-4.

(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,

因为m>0,所以m=3,P(3,-4),

所以cos α=,sin α=-,

所以

=

=-=-.

12.解析　(1)f(x)

=+

=+

=-sin x·+sin x=sin x-cos x.

(2)因为f(α)=,即sin α-cos α=,

所以(sin α-cos α)2=,

整理得1-2sin αcos α=,

所以2sin αcos α=,sin αcos α=.

13.解析　(1)结合诱导公式可得f(α)==

-sin αcos α.

(2)由f(α)=-sin αcos α=-可知sin αcos α=,

∴(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=

1-2sin αcos α=1-2×=,

又∵<α<,

∴cos α<sin α,

即cos α-sin α<0,

∴cos α-sin α=-.