数学必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数第一课时导学案

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第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，我们本节课就研究此类函数．
[问题] (1)由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象？
(2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？



知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

eq \a\vs4\al()
对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0)
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系；
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系；
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．( )
(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( )
(3)把函数y＝cs x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cs 3x的图象．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
答案：B
3．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(1,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(1,6)个单位长度
答案：B
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
[例1] (链接教科书第186页练习1题)作函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在[0，π]上的图象．
[解] 列表：
描点连线得：
eq \a\vs4\al()
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．“五点法”
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
(1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
(3)利用ωx＋φ的值计算y值；
(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解：f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，列表如下：
图象如图．
[例2] (链接教科书第187页例4)(1)将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,4)))的图象，则f(x)＝________．
[解析] (1)由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))可知，周期T＝π，
所以eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)π，
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))eq \(―――――→,\s\up10(向右平移),\s\d10(\f(1,4)个周期))y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(2)将y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1的图象，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1.
[答案] (1)D (2)2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1
eq \a\vs4\al()
φ对三角函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
(1)y＝sin(x＋φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y＝sin x的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度得到；
(2)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；
(3)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．
[跟踪训练]
将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析：将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象对应的函数为y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \r(2)cs(2x＋π)＝－eq \r(2)cs 2x.
答案：y＝－eq \r(2)cs 2x
[例3] (链接教科书第184页例1)(1)为了得到y＝cs 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，横坐标不变
(2)将函数y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，则所得图象的函数解析式为________．
[解析] (1)由题意得ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,4)，纵坐标不变，即可得到y＝cs 4x，x∈R的图象．
(2)y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象eq \(――――→,\s\up7(横坐标伸长为),\s\d5(原来的2倍))y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))))＝eq \f(1,2)sin x的图象eq \(――――→,\s\up7(纵坐标缩短为),\s\d10(原来的\f(1,2)))y＝eq \f(1,4)sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝eq \f(1,4)sin x.
[答案] (1)B (2)y＝eq \f(1,4)sin x
eq \a\vs4\al()
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种方法及步骤

[跟踪训练]
指出将y＝sin x的图象变换为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的两种方法．
解：法一：y＝sin x
y＝sin 2x
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
法二：y＝sin x

1．用“五点法”作函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,6)))在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，0))
解析：选A 令4x－eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)，得x＝eq \f(5π,12).∴该点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0)).
2．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向上平移eq \f(π,3)个单位长度
D．向下平移eq \f(π,3)个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))).
3．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin x，则( )
A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝2，φ＝－eq \f(π,3)
C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,3)
解析：选B 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，可得y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，所以ω＝2，φ＝－eq \f(π,3).
4．将函数y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，则所得图象的函数解析式为________________．
解析：y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象eq \(――――→,\s\up7(横坐标伸长为),\s\d5(原来的2倍))y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))))＝eq \f(1,2)sin x的图象eq \(―――→,\s\up7(纵坐标缩短为),\s\d10(原来的\f(1,2)))y＝eq \f(1,4)sin x的图象，即所得图象的解析式为y＝eq \f(1,4)sin x.
答案：y＝eq \f(1,4)sin x新课程标准解读
核心素养
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义
数学抽象
2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
数学抽象、直观想象
“五点法”作图
2x－eq \f(π,6)
－eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
eq \f(11π,6)
x
0
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
π
f(x)
－1
0
2
0
－2
－1
2x－eq \f(π,3)
－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
eq \f(5,3)π
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5,12)π
eq \f(2,3)π
eq \f(11,12)π
π
f(x)
eq \f(1,2)
1
0
－1
0
eq \f(1,2)
三角函数图象的平移变换
三角函数图象的伸缩变换