人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案

第1课时   函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

学习目标

知识梳理

　A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响

―→

(2)ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

(3)A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

名师导学

知识点1    五点法作图

【例】作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图象．

反思感悟　

1．“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

2．“五点法”

作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：

(1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；

(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；

(3)利用ωx＋φ的值计算y值；

(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．　　　  

变式训练

已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

知识点2    三角函数的图象变换

【例】 (1)(多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sin的图象的是(　　)

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)

B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)

(2)将函数 y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为__________．

反思感悟　

(1)图象平移变换的方法

①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．

②当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；

若φ＜0，则右移|φ|个单位．

③当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．

(2)三角函数图象伸缩变换的方法

法一：y＝A1sin ω1x

y＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x.

法二：y＝A1sin ω1x

y＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x.　

变式训练

1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)

A．y＝sin＋2

B．y＝sin－2

C．y＝sin－2

D．y＝sin＋2

2．要得到函数 y＝3sin 2x 的图象，可将函数 y＝3cos的图象(　　)

A．沿 x 轴向左平移个单位长度

B．沿 x 轴向右平移个单位长度

C．沿 x 轴向左平移个单位长度

D．沿 x 轴向右平移个单位长度

当堂测评

1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)

A.  B.

C.  D.

2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向上平移个单位长度

D．向下平移个单位长度

3．已知函数y＝sin，请说明此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．

名师导学

知识点1    五点法作图

【例】作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图象．

[解]　列表：

描点连线得：

反思感悟　

1．“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

2．“五点法”

作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：

(1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；

(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；

(3)利用ωx＋φ的值计算y值；

(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．　　　  

变式训练

已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

解：f(x)＝cos，列表如下：

图象如图．

知识点2    三角函数的图象变换

【例】 (1)(多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sin的图象的是(　　)

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)

B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)

(2)将函数 y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为__________．

【解析】　(1)选项A：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sin的图象；

选项B：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，

正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sin ＝sin的图象；

选项C：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，

正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sin ＝sin的图象；

选项D：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，

正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sin 的图象，因此A和B符合题意，故选 AB.

(2)函数 y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为 y＝sin＝sin 2x.

【答案】　(1)AB　(2)y＝sin 2x

反思感悟　

(1)图象平移变换的方法

①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．

②当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；

若φ＜0，则右移|φ|个单位．

③当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．

(2)三角函数图象伸缩变换的方法

法一：y＝A1sin ω1x

y＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x.

法二：y＝A1sin ω1x

y＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x.　

变式训练

1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)

A．y＝sin＋2

B．y＝sin－2

C．y＝sin－2

D．y＝sin＋2

解析：选D.向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D.

2．要得到函数 y＝3sin 2x 的图象，可将函数 y＝3cos的图象(　　)

A．沿 x 轴向左平移个单位长度

B．沿 x 轴向右平移个单位长度

C．沿 x 轴向左平移个单位长度

D．沿 x 轴向右平移个单位长度

解析：选B.由于函数 y＝3sin 2x＝3cos

＝3cos，

所以将函数 y＝3cos的图象沿 x 轴向右平移个单位长度，即可得到函数 y＝3sin 2x的图象．

当堂测评

1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　令4x－＝，得x＝.

∴该点坐标为.

2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向上平移个单位长度

D．向下平移个单位长度

解析：选B　将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.

3．已知函数y＝sin，请说明此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．

解：法一(先平移法)：第一步：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象；

第二步：把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；

法二(先伸缩法)：第一步：把y＝sin x的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin x的图象；

第二步：把y＝sin x图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到y＝sin的图象．