高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第二课时导学案及答案

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[研读]函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质受参数A，ω，φ的取值和符号的影响．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝ eq \r(2) sin (ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－ eq \r(2) ， eq \r(2) ].( √ )
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.( × )
(3)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象既是中心对称图形也是轴对称图形．( √ )
(4)函数y＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的图象的相邻对称轴之间的距离是 eq \f(π,2) .( √ )
eq \(\s\up7(),\s\d5( 由图象确定三角函数的解析式))
eq \a\vs4\al(例1) 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))) 的图象如图所示，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) 的值为( B )

A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \r(2) D． eq \r(3)
【解析】 根据图象可得A＝2， eq \f(T,2) ＝ eq \f(2π,3) － eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，即T＝π，得ω＝ eq \f(2π,π) ＝2，所以y＝2sin (2x＋φ)，
又f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，2)) ，所以2＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ)) ，
即2× eq \f(π,6) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z，
又因为|φ|< eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,6) ，f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,6))) ＝2sin eq \f(5π,6) ＝1.
[规律方法]
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点求得φ.
活学活用
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(A>0，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2))) 的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1)) __．(答案不唯一)
【解析】 由题图可知A＝ eq \f(3＋1,2) ＝2，B＝ eq \f(3－1,2) ＝1，T＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12))) ＝π，所以ω＝2，故f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.
由 eq \f(π,12) ×2＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，且|φ|< eq \f(π,2) ，得φ＝ eq \f(π,3) ，
故f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＋1.
令2x＋ eq \f(π,3) ＝kπ(k∈Z)，得x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,6) (k∈Z)，当k＝0时，x＝－ eq \f(π,6) .
所以函数f(x)图象的一个对称中心的坐标可以为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1)) .
eq \(\s\up7(),\s\d5( 三角函数性质的综合问题))
eq \a\vs4\al(例2) 已知函数f(x)＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ＋ eq \f(5,4) .求：
(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)f(x)图象的对称轴方程和对称中心；
(3)f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解：(1)函数f(x)的周期为T＝ eq \f(2π,2) ＝π，
由2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，
得kπ－ eq \f(π,3) ≤x≤kπ＋ eq \f(π,6) (k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6))) (k∈Z).
(2)令2x＋ eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，得x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) (k∈Z)，
所以f(x)图象的对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) (k∈Z).
令2x＋ eq \f(π,6) ＝kπ(k∈Z)，则x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,12) (k∈Z)，
所以f(x)图象的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(5,4))) (k∈Z).
(3)当sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ＝－1时，f(x)取得最小值，
即2x＋ eq \f(π,6) ＝－ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－ eq \f(π,3) ＋kπ(k∈Z)，所以f(x)min＝ eq \f(1,2) ×(－1)＋ eq \f(5,4) ＝ eq \f(3,4) ，
所以f(x)的最小值为 eq \f(3,4) ，此时x的取值集合是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))) .
活学活用
设函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,5))) ，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为__2__．
【解析】 由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即为2.
1．若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最小值为－3，则A等于( C )

A．5 B．－5 C．4 D．－4
【解析】 依题意可知，A＝4.
2．已知函数f(x)＝A cs (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2))) ＝－ eq \f(2,3) ，则f(0)＝( C )
A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2)
【解析】 由题图可知函数f(x)的周期为 eq \f(2π,3) ，故ω＝3.将 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，0)) 代入解析式，得 eq \f(11,4) π＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－ eq \f(π,4) ＋2(k－1)π(k∈Z).令φ＝－ eq \f(π,4) ，代入解析式，
得f(x)＝A cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4))) ，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2))) ＝－A cs eq \f(π,4) ＝－ eq \f(2,3) ，故A＝ eq \f(2\r(2),3) .
所以f(0)＝ eq \f(2\r(2),3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4))) ＝ eq \f(2\r(2),3) cs eq \f(π,4) ＝ eq \f(2,3) ，故选C.
3．若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则下列有关f(x)性质的描述正确的是( B )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，\f(7π,12)＋\f(kπ,2))) (k∈Z)为其单调递减区间
B．f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度后对应的函数为偶函数
C．φ＝ eq \f(2π,3)
D．x＝ eq \f(π,12) ＋kπ(k∈Z)为其图象的对称轴方程
【解析】 由题图可知，函数的最小值为－1，∴A＝1.
∵ eq \f(T,4) ＝ eq \f(7π,12) － eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,4) ，∴T＝π，∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝2，
∴f(x)＝sin (2x＋φ).又函数图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，－1)) ，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋φ)) ＝－1.∵0<φ<π，∴φ＝ eq \f(π,3) ，
∴f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ，
其单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12))) ，k∈Z，
对称轴方程为x＝ eq \f(π,12) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z),
f(x)的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度后得到的图象对应的解析式为g(x)＝cs 2x，是偶函数．
故选B.
4．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) 的图象的对称轴方程是__x＝kπ＋ eq \f(2π,3) (k∈Z)__．
【解析】 由x－ eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，得
x＝kπ＋ eq \f(2π,3) (k∈Z)为函数f(x)图象的对称轴方程．
5．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4))) 的单调递减区间是__ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16))) ，k∈Z__．
【解析】 由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤4x＋ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，得 eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,16) ≤x≤ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(5π,16) ，k∈Z．所以函数f(x)的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16))) ，k∈Z．
eq \a\vs4\al(温馨说明：课后请完成高效作业49 ) 定义域
__R__
值域
__[－A，A]__
周期
__ eq \f(2π,ω) __
对称中心
__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0)) (k∈Z)__
对称轴
x＝ eq \f(kπ,ω) ＋ eq \f(π－2φ,2ω) (k∈Z)
奇偶性
当φ＝__kπ(k∈Z)__时是奇函数
当φ＝__kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)__时是偶函数
单调性
由2kπ－ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得单调递增区间
由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，k∈Z，解得单调递减区间