湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数第二课时学案设计

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科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．
[问题] (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？





知识点 函数的最大值与最小值
前提条件：设D是函数f(x)的定义域．
(1)最大值：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
(2)最小值：如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值m＝f(b)，称m为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．
最大值和最小值统称为最值．
eq \a\vs4\al()
对函数最大值(最小值)定义的再理解
(1)M(m)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；
(2)最大(小)值定义中的“对一切x∈D成立”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值．( )
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)或f(b)．( )
(3)函数的最大值一定比最小值大．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．
答案：－1 2
3．函数f(x)＝eq \f(2,x)，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为______，最小值为________．
答案：1 eq \f(1,2)
[例1] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值．
[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
eq \a\vs4\al()
用图象法求最值的3个步骤

[跟踪训练]
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0(1)画出f(x)的图象；
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值.
[例2] (链接教科书第80页例2)已知函数f(x)＝eq \f(2x－3,x＋1).
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．
[解] (1)f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明：设x1，x2是区间[0，＋∞)上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1－3,x1＋1)－eq \f(2x2－3,x2＋1)＝eq \f(（2x1－3）（x2＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)－eq \f(（2x2－3）（x1＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)＝eq \f(5（x1－x2）,（x1＋1）（x2＋1）).
因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是单调递增的，
故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝eq \f(2×9－3,9＋1)＝eq \f(3,2)，最小值为f(2)＝eq \f(2×2－3,2＋1)＝eq \f(1,3).
eq \a\vs4\al()
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性；
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
[跟踪训练]
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有eq \f(f（a）－f（b）,a－b)>0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．
解析：由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，1]上的最大值应为f(1)＝2.
答案：2
2．已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)是增函数，证明如下：
设x1和x2是区间[3，5]上任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2)＝eq \f(3（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）)，
因为3≤x1所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在[3，5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝eq \f(4,7)，
f(x)min＝f(3)＝eq \f(2,5).
[例3] 已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \f(x2＋2x＋\f(1,2),x)＝x＋eq \f(1,2x)＋2.设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2x1x2)))<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋eq \f(1,2)＋2＝eq \f(7,2).
(2)法一：依题意f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)>0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，
知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0即a>－3时，f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：依题意f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，
因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，
所以a>－3，
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
分离参数法解决恒成立问题
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间I上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间I上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间I上存在x使a[跟踪训练]
设函数f(x)＝x－eq \f(1,x)，x∈[1，＋∞)，则使f(mx)＋mf(x)<0恒成立的实数m的取值范围是________．
解析：易知f(x)为增函数，且m≠0.若m>0，由函数f(x)的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．若m<0，则f(mx)＋mf(x)<0可化为mx－
eq \f(1,mx)＋mx－eq \f(m,x)<0，所以2mx－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,m)))·eq \f(1,x)<0，即1＋eq \f(1,m2)<2x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋eq \f(1,m2)<2，即m2>1，得m<－1.
答案：(－∞，－1)
1．二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．－eq \f(1,2)
解析：选A 二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(4a2－16,4a)＝3，))解得a＝－1.
2．若函数f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1，a]上的最小值为eq \f(1,4)，则a＝________．
解析：∵f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1，a]上单调递减，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,4)，∴a＝4.
答案：4
3．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：f(x)＝kx＋2x＋3k－1＝(k＋2)x＋3k－1.由对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4k－8＋3k－1≤0，,k＋2＋3k－1≤0，))解得－9≤k≤－eq \f(1,4).所以k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－9，－\f(1,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－9，－\f(1,4)))图象法求函数的最值
单调性法求最值
利用函数的最值解决恒成立问题