高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第二课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第二课时学案，共7页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


题型 1利用图象求函数的最值
【问题探究1】 (1)观察下列两个函数的图象，回答有关问题：
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？
②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？
②通过观察图3你能发现什么？
例1 已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
题后师说
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，求f(x)的最大值.
题型 2利用函数的单调性求函数的最值
【问题探究2】 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
(2)若f(x)＝－x2的定义域为[－1，2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
例2 已知f(x)＝.
(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
学霸笔记：运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x＋，其中x∈[1，＋∞)．
(1)用定义证明f(x)的单调性；
(2)求f(x)的最小值．
题型 3函数最值的实际应用
例3 某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
学霸笔记：
在实际问题中利用二次函数求最值的解题步骤
(1)审清题意；
(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)总结结论，回归题意．
跟踪训练3 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
随堂练习
1.函数f(x)的图象如图所示，则最大、最小值分别为( )
A.f()，f(－)
B．f(0)，f()
C．f(0)，f(－)
D．f(0)，f(3)
2．函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为( )
A．－ B．－
C．－1 D．不存在
3．若函数f(x)＝x2－2x，x∈[－1，4]，则f(x)的值域为( )
A．[－1，3] B．[－1，16]
C．[－1，8] D．[3，8]
4．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为________ m．
课堂小结
1.函数最大值、最小值的定义．
2．求函数最值的方法．
第2课时 函数的最大(小)值
问题探究1 提示：(1)①题图1中函数f(x)＝－x2的图象上有一个最高点；题图2中函数g(x)＝－x的图象上没有最高点．
②对任意x∈R，都有f(x)≤f(0)．
(2)①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点．
题图4中函数y＝x的图象没有最低点．
②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
例1 解析：作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2；当x＝时，f(x)取最小值－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
跟踪训练1 解析：在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中的实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1.
问题探究2 提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 解析：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝＝.
∵x10，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)在区间[2，4]上单调递增，
∴f(x)max＝f(4)＝＝.
跟踪训练2 解析：(1)证明：设任意x1，x2∈[1，＋∞)，
且x1>x2≥1，
则有x1－x2>0，x1x2>1，
又因为f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)(1－)>0，∴f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，最小值为f(1)＝.
例3 解析：(1)由题意设投入x万元，稳健型产品的年收益f(x)＝mx，风险型产品的年收益g(x)＝n，
由图知，函数f(x)和g(x)的图象分别过点(1，0.125)和(1，0.5)，
代入解析式可得m＝0.125，n＝0.5，
所以f(x)＝0.125x，g(x)＝0.5.
(2)设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为20－x，年收益为y，
则y＝0.125x＋0.5＝(x＋4)，x∈[0，20]，
令t＝，则y＝－(t2－4t－20)＝－[(t－2)2－24]，t∈[0，2]，
当t＝2，即x＝16时，ymax＝3，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
跟踪训练3 解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组⇒，所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
[随堂练习]
1．解析：根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大、最小值分别为f(0)，f(－)．故选C.
答案：C
2．解析：因为函数y＝－在(0，＋∞)上单调递增，y＝－是由y＝－向左平移一个单位后得到的函数，
所以y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1，2]上单调递增，
所以最大值为ymax＝－＝－.故选A.
答案：A
3．解析：∵f(x)＝(x－1)2－1，所以，函数y＝f(x)在区间[－1，1)上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－1，
∵f(－1)＝3，f(4)＝8，∴f(x)max＝f(4)＝8.
因此，函数y＝f(x)在区间[－1，4]上的值域为[－1，8].故选C.
答案：C
4．解析：设隔墙的长为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，
所以当x＝3时，S有最大值，为18 m2，故隔墙的长为3 m时，矩形场地的面积最大．
答案：3
x
45
50
y
27
12