高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第二课时学案

第二课时　函数的概念(二)

设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间．

[问题]　(1)如何表示列车的运行速度的范围？

(2)还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？

知识点一　区间的概念

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

2．特殊区间的表示

用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2＜x≤3}＝________；

(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；

(4)R＝________；

(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；

(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．

答案：(1)[1，＋∞)　(2)(2，3]　(3)(－1，2)∪(2，＋∞)

(4)(－∞，＋∞)　(5)[－5，－1]　(6)(－∞，9)∪(9，20)

知识点二　同一个函数

定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　　)

(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)

A．y＝与y＝x＋3

B．y＝－1与y＝x－1

C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z

答案：C

[例1]　将下列集合用区间以及数轴表示出来：

(1){x|x<2}；(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}；

(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3<x<5}．

[解]　(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.

(2){x|－1<x<0或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②.

(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.

(4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图④.

用区间表示数集的方法

(1)区间左端点值小于右端点值；

(2)区间两端点之间用“，”隔开；

(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；

(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·辽阳高一月考)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(－∞，－1)∪(－1，3]　　　　 B．(－∞，3]

C．(－1，3]  D．(－∞，－1)

解析：选A　要使函数f(x)＝＋有意义，则解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.

2．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为________．

解析：由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.

答案：(－∞，1)

[例2]　(多选)下列式子表示同一个函数的是(　　)

A．f(x)＝|x|，φ(t)＝

B．y＝，y＝()2

C．y＝·，y＝

D．y＝，y＝x－3

[解析]　A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；

B：y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一个函数；

C：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数；

D：∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，

∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．

[答案]　AC

判断两个函数是否为同一个函数的步骤

[跟踪训练]

下列各组函数：

①f(x)＝，g(x)＝x－1；

②f(x)＝，g(x)＝；

③f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；

④f(x)＝x0，g(x)＝；

⑤f(x)＝(x－1)2，g(t)＝t2－2t＋1.

其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．

解析：①f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0}，f(x)＝，g(x)＝，它们的对应关系不同，不是同一个函数；③f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一个函数；⑤虽然表示自变量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数．

答案：④⑤

[例3]　求下列函数的值域：

(1)y＝－1；

(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；

(3)y＝；

(4)y＝2x＋4.

[解]　(1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，

∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．

(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，

把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，

∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．

(3)(分离常数法)y＝＝＝3－.

∵≠0，∴y≠3，

∴y＝的值域为{y|y∈R，且y≠3}．

(4)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．

求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．　　　　

[跟踪训练]

1．函数y＝2x－的值域是________．

解析：设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.

答案：

2．求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；

(3)y＝.

解：(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0，4]．

(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象(图略)可知y∈[2，11]．

(3)∵y＝＝1－，

且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.

∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}．

抽象函数与复合函数的定义域

一、概念

1．抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．

2．复合函数的概念

若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．

[说明]　由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．

二、结论

理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：

(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；

(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；

(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；

(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；

(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．

[迁移应用]

1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域

[例1]　已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)

A.　　　　　　 B.

C．[－3，1]  D.

[思路点拨]　解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．

[解析]　由－x2＋2x＋3≥0，

解得－1≤x≤3，

即函数f(x)的定义域为[－1，3]．

由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，

则函数f(3x－2)的定义域为.

[答案]　A

2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域

[例2]　已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．

[思路点拨]　定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．

[解析]　根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，

∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．

故f(x)的定义域为[－1，8]．

[答案]　[－1，8]

3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域

[例3]　若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．

[思路点拨]　由f(x＋1)的定义域为，即－≤x≤2，可求得≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为，由此可推出≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．

[解析]　由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.

故f(x－1)的定义域是.

[答案]　

1．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)

A．(2，＋∞)  B．[2，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(－∞，2]

解析：选B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．

2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)

A．y＝  B．y＝

C．y＝  D．y＝x2＋1

解析：选B　y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．

解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．

答案：[－4，3]