高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


题型 1利用定义证明函数的单调性
【问题探究1】 以二次函数f(x)＝x2为例，如何用数学的符号语言描述函数在[0，＋∞)单调递增？
观察函数在y轴右侧的特点并完成下列表格．
观察表格x与f(x)的变化关系，说出当x>0，当x从x1到x2(x1＜x2)时，f(x1)与f(x2)有什么关系？
例1 用定义证明函数f(x)＝在(－2，2)上单调递增．
题后师说
利用定义证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 利用定义法证明：函数f(x)＝在(－∞，1)上单调递减．
题型 2求函数的单调区间
【问题探究2】 函数的单调区间与其定义域是什么关系？
例2 画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝－(x－3)|x|.
学霸笔记：(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
题型 3函数单调性的应用
例3 (1)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(2)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
一题多变 在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调区间是(－∞，3]，求实数a的值．(比较这两个条件的区别)．
学霸笔记：
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( )
A．f(m)f(1)
C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1)
(2)函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上不单调，则实数k的取值范围为________．
随堂练习
1.函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(－，5) D．(－5，－)
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(2)C．f(2)>f(5) D．f(2)≥f(5)
3．函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)
4．若对于区间I上的函数f(x)，满足对于任意的x1，x2，>0，则函数f(x)在I上是________．(选填“增函数”或“减函数”)
课堂小结
1.证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
2．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)第1课时 函数的单调性
问题探究1 提示：图象直观感知：在区间[0，＋∞)上，图象从左到右上升
自然语言描述：在区间[0，＋∞)上，随着自变量x的增大，函数值y在增大
f(x1)例1 证明：任取x1，x2∈(－2，2)且－2＝＝
＝＝，
又＋4)>0，故f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(－2，2)上单调递增．
跟踪训练1 证明：任取x1，x2∈(－∞，1)且x1则f(x1)－f(x2)＝＝，
∵x1∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(－∞，1)上单调递减．
问题探究2 提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例2 解析：(1)画出f(x)＝－的图象如图所示，
可得其单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞)，无单调递减区间．
(2)f(x)＝－(x－3)|x|＝ ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(－∞，0]和[，＋∞)．
跟踪训练2 解析：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．
例3 解析：(1)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
(2)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4].
答案：(1)(－∞，1) (2)(－∞，－4]
一题多变 解析：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
跟踪训练3 解析：(1)由题意得m－1>0，即m>1，
而f(x)在R上是增函数，则f(m)>f(1)．故选B.
(2)根据题意，二次函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，
∵函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上不单调，
∴5<<20，即40答案：(1)B (2)(40，160)
[随堂练习]
1．解析：函数y＝x2＋x＋2对称轴为x＝－，开口向上，
所以函数y＝x2＋x＋2，x∈(－5，5)的单调递减区间为(－5，－)．故选D.
答案：D
2．解析：f(x)在R上是减函数，则f(2)>f(5)．故选C.
答案：C
3．解析：∵函数y＝f(x)在R上是减函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
∴由函数单调性的定义可知，2m<－m＋9，
解得m<3，
∴实数m的取值范围是(－∞，3)．故选A.
答案：A
4．解析：因为对于任意的x1，x2∈I，>0，
所以当x1－x2>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即对于任意的x1，x2∈I，当x1>x2时，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在I上是增函数．
答案：增函数
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
f(x)
…
…
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
f(x)
…
1
4
9
16
25
36
49
64
81
…