湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数一课一练

这是一份湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数一课一练，共6页。

1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N＋)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
解析：选D 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( )
A．0.015克 B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D．eq \r(100,0.125) 克
解析：选D 设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余1×(1－x)100克，依题意得(1－x)100＝0.5，所以x＝1－eq \r(100,0.5)，3年后剩余为(1－x)3，将x的值代入，得结果为eq \r(100,0.125)，故选D.
3．某商场2020年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝lg2t B．y＝2t
C．y＝t2 D．y＝2t
解析：选B 作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
解析：选ABD 图象过(1，2)点，∴2＝a1，即a＝2，
∴y＝2t.
∵eq \f(2t＋1－2t,2t)＝eq \f(2t（2－1）,2t)＝1，
∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝2eq \a\vs4\al(t1)，3＝2eq \a\vs4\al(t2)，6＝2eq \a\vs4\al(t3)，
∴t1＝lg22，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝lg22＋lg23＝lg26＝t3，D正确．故选A、B、D.
5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \s\up6(\f(7,6))倍 D．lneq \f(7,6)倍
解析：选B 依题意可知，η1＝10·lgeq \f(I1,I0)，η2＝10·lgeq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq \f(I1,I0)－10·lgeq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
6．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行，球________踢进球门(填“能”或“不能”)．
解析：建立如图所示的坐标系，抛物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)．
设其解析式为y＝a(x－6)2＋3，把x＝0，y＝0代入，得a＝－eq \f(1,12)，
∴y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋3.
当x＝10时，y＝－eq \f(1,12)(10－6)2＋3＝eq \f(5,3)<2.44.
∴球能踢进球门．
答案：能
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，所以lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，所以eq \f(M,m)＝e6－1.
答案：e6－1
8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式，得
y＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
9．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2).))
所以f(x)＝eq \f(3,2)x＋eq \f(5,2)，x∈N.
故最适合的函数模型解析式为f(x)＝eq \f(3,2)x＋eq \f(5,2)，x∈N.
(2)2021年预计年产量为f(7)＝eq \f(3,2)×7＋eq \f(5,2)＝13，
2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.
故2021年的年产量为9.1万件．
[B级 综合运用]
10.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当0≤t<1时，y＝kt，由点M(1，4)在直线上，得4＝k，故y＝4t；
当t≥1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t－a)，由点M(1，4)在曲线上，得4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－a)，解得a＝3，即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(t－3).
故y＝f(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t≥1.))
(2)由题意知f(t)≥0.25，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t≥0.25，,0≤t<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，,t≥1，))解得eq \f(1,16)≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－eq \f(1,16)＝eq \f(79,16)(h)．
11．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝alg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解：(1)∵D1＋2D2＝3D3，
∴alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b)，
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，
∴I1·Ieq \\al(2,2)＝Ieq \\al(3,3).
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－13a＋b＝30，,－12a＋b＝40，))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝160，))∴100<10lg I＋160<120，
∴10－6故当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
[C级 拓展探究]
12．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t).测得数据如表(部分).
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题中表格数据可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝c＝0，,f（1）＝a＋b＋c＝\f(7,4)，,f（2）＝4a＋2b＋c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4) ，,b＝2，,c＝0.))
所以当0≤x<6时，f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x.
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－t)，
由题中表格数据可得，f(9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(9－t)＝eq \f(1,9)，解得t＝7，
所以当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7).
综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x2＋2x，0≤x<6，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(x－7)，x≥6.))
(2)当0≤x<6时，f(x)＝－eq \f(1,4)x2＋2x＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x－7)单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(6－7)＝3，
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.时间t
1
2
3
4
利润y(千元)
2
3.98
8.01
15.99
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
eq \f(7,4)
3
eq \f(1,9)
…