数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案配套课件ppt

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1.掌握数列的概念,了解数列的分类.2.掌握数列的通项公式,理解数列与函数之间的关系.3.培养学生的数学抽象能力与数学建模的能力.
(1)看它们有什么共同特点?提示:它们都是按一定顺序排列着的一列数.(2)上述数能交换次序排列吗?提示:不能.
2.填空:(1)数列一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.(2)数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用 a2 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
(3)数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.因为数列{an}中的每一项an和它的序号n有下面的对应关系:
所以数列{an}是从正整数集 N* (或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号 n ,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1),f(2),…,f(n),…就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}.与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
二、数列的分类【问题思考】1.如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同,那么它们是否为同一数列?提示:不是同一数列.2.有没有各项都为同一个数的数列?提示:有.
3.填空:数列的分类(1)按项的个数分类
(2)按项的变化趋势分类
4.做一做:(多选题)下列叙述不正确的是(　　)A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是常数列
解析:数列中的项是有顺序的,故A错;B中数列应为{n-1};C中数列不是常数列;D正确,故选ABC.答案:ABC
三、数列的通项公式【问题思考】1.观察“数列及其有关概念”①②③④中的数字,每组中的数字与这个数字的序号之间的对应关系是函数关系吗?如何表示这种对应关系呢?提示:因为每个数字与这个数字的序号之间是一一对应关系,符合函数的定义,所以这种对应关系是函数关系.①中函数关系可表示为y=2x(x∈N*);②中函数关系可表示为y= (x∈N*);③中函数关系可表示为y=83x+1 657(x∈N*);④中函数关系可表示为
2.填空:如果数列{an}的第n项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3.做一做:观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)1,7,0,11,-3,…,-1 000不构成数列.( )(2)数列{an}的通项也可以用an+1来表示.( )(3){an}与an是一样的,都表示数列.( )(4)1,2,22,23,…,263是递增数列,也是无穷数列.( )
(2)下列说法正确的有　　　　　个. ①数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8};②数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列;③-1,1,-1,1,…是常数列.解析:(1)①是有穷递增数列;②是无穷递减数列;③④是无穷数列.(2)①错误.数列不能写成集合的形式.②错误.数列中的数是有顺序的,数相同但顺序不同的数列不相同.③错误.各项都相等的数列为常数列,故③不是常数列.答案:(1)①　②③④　①　②　(2)0
反思感悟 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列的概念及数列的特点.对于递增数列、递减数列、常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷数列还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
【变式训练1】 下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;(2)所有自然数能构成数列;(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列;(4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.解:(1)错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.(2)正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(3)错误.当x,y代表数时为项数为8的数列,当x,y中有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成.(4)错误.数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列.
反思感悟 根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的认识事物的规律,解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系.具体可参考以下几个思路:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k(k∈N*)处理.(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
【例3】 若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n(n∈N*),画出它在x轴上方的图象,并根据图象求出an的最大值,在同一坐标系中画出函数f(x)= -2x2+13x的图象,根据图象求出f(x)的最大值,并与an的最大值比较.若用函数的性质来求an=-2n2+13n的最大值,应如何处理?
反思感悟 1.数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.数列是一种特殊的函数,因此研究数列的最值问题可借助于函数的方法,但应注意自变量n为正整数这一条件.
已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n-5,(1)写出它的前三项;(2)判断数列{an}的单调性.解:(1)数列的前三项:a1=12+2×1-5=-2;a2=22+2×2-5=3;a3=32+2×3-5=10.(2)∵an=n2+2n-5,∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3.∵n∈N*,∴2n+3>0,∴an+1>an.∴数列{an}是递增数列.
忽视数列的有序性致错【典例】 判断下面两个数列是否为同一个数列:(1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1;(2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1.错解:是同一个数列.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:1.将数列与集合混为一谈致错.2.不能准确利用数列的概念致错.正解:因为数列(1)与数列(2)中的数的排列顺序不同,所以它们不是同一个数列.
防范措施 用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别:(1)集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的;(2)集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的.
【变式训练】 写出由集合{x|x∈N*,且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1,且集合中的元素只出现一次).解:集合可表示为{1,2,3,4},由集合中的元素组成的数列要求首项为1,且集合中的元素只出现一次,故所求数列有6个:1,2,3,4;1,2,4,3;1,3,2,4;1,3,4,2;1,4,2,3;1,4,3,2.
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
3.数列-1,8,-27,64,…的通项公式为　　　　　. 答案:an=(-1)n·n3