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数学选择性必修第一册4.1 数列课文内容ppt课件
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这是一份数学选择性必修第一册4.1 数列课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，数列的概念与分类，数列的通项公式，数列的图象，内容索引，序号n，通项公式，它们的图象为等内容，欢迎下载使用。
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项， 并结合数列的函数特征画出数列的图象.
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：…；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
问题1 观察以下几列数：
提示 共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.
1.一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第 项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫作 .2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为 .
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3) 表示一个数列，an表示数列中的第n项.
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列.
问题2 我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示 对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，
一般地，如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的 .注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一.
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
解 数列中的项，有的是分数，有的是整数，
解 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(3)0,1,0,1；
解 各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
(4)9,99,999,9 999.
解 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，
延伸探究 1.试写出前4项为：1,11,111,1111，…的一个通项公式.
解 由上式中的每一项乘7即可，
2.试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31，…；
解 由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…可得an＝2n－1.
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，…；
可得an＝(n＋1)(n＋2).
例3 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
反思感悟 基于数列的函数特点，数列可以看成以正整数n为自变量的函数，其通项公式可以看成解析式，则数列也可用列表与图象来进行表示.
跟踪训练3 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)an＝3n＋1；(2)an＝2n－1.
1.知识清单：(1)数列的概念与分类.(2)数列的通项公式.(3)数列的图象.2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
1.下列说法正确的是A.数列中不能重复出现同一个数B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C.1,1,1,1不是数列D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
解析 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确.
2.已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*，则该数列的前4项依次为A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
3.数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x的值是A.4 B.5 C.6 D.7
解析 数列1,1,2,3，x,8,13,21，…各项满足从数列第三项开始，每一项都等于前两项的和，故x＝2＋3＝5.
4.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是_________________.
an＝2n＋1，n∈N*
1.(多选)下列说法正确的是A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
4.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为
5.已知an＋1－an－3＝0，则数列 是A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列
解析 因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3>0.
6.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为______.
又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为673.
8.数列：2，－5,8，－11，…，(－1)n－1(3n－1)，(－1)n(3n＋2)的第2n项为_______.
解析 由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示(－1)n－1，又首项为2，故数列的通项公式为an＝(－1)n－1(3n－1)，可知第2n项为a2n＝(－1)2n－1(6n－1)＝－(6n－1)＝1－6n.
9.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；
解 各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
解 每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，
解 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
10.已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
12.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律，新数列的第8项为A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4
解析 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192,0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
13.数列{an}中，an＝ ，则a5等于A.3 333 B.7 777 C.33 333 D.77 777
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以0
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项， 并结合数列的函数特征画出数列的图象.
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：…；你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
问题1 观察以下几列数：
提示 共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.
1.一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第 项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫作 .2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为 .
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3) 表示一个数列，an表示数列中的第n项.
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列.
问题2 我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示 对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，
一般地，如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的 .注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一.
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
解 数列中的项，有的是分数，有的是整数，
解 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(3)0,1,0,1；
解 各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
(4)9,99,999,9 999.
解 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，
延伸探究 1.试写出前4项为：1,11,111,1111，…的一个通项公式.
解 由上式中的每一项乘7即可，
2.试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31，…；
解 由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…可得an＝2n－1.
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，…；
可得an＝(n＋1)(n＋2).
例3 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
反思感悟 基于数列的函数特点，数列可以看成以正整数n为自变量的函数，其通项公式可以看成解析式，则数列也可用列表与图象来进行表示.
跟踪训练3 已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：(1)an＝3n＋1；(2)an＝2n－1.
1.知识清单：(1)数列的概念与分类.(2)数列的通项公式.(3)数列的图象.2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
1.下列说法正确的是A.数列中不能重复出现同一个数B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C.1,1,1,1不是数列D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
解析 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确.
2.已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*，则该数列的前4项依次为A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
3.数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x的值是A.4 B.5 C.6 D.7
解析 数列1,1,2,3，x,8,13,21，…各项满足从数列第三项开始，每一项都等于前两项的和，故x＝2＋3＝5.
4.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是_________________.
an＝2n＋1，n∈N*
1.(多选)下列说法正确的是A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
4.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为
5.已知an＋1－an－3＝0，则数列 是A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列
解析 因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3>0.
6.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为______.
又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为673.
8.数列：2，－5,8，－11，…，(－1)n－1(3n－1)，(－1)n(3n＋2)的第2n项为_______.
解析 由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示(－1)n－1，又首项为2，故数列的通项公式为an＝(－1)n－1(3n－1)，可知第2n项为a2n＝(－1)2n－1(6n－1)＝－(6n－1)＝1－6n.
9.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；
解 各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
解 每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，
解 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
10.已知数列 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
12.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律，新数列的第8项为A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4
解析 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192,0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
13.数列{an}中，an＝ ，则a5等于A.3 333 B.7 777 C.33 333 D.77 777
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以0
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