数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数达标测试

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对数的运算[A级　基础巩固]1．化简log612－2log6的结果为(　　)A．6　　　　　　　 B．12C．log6  D．解析：选C　原式＝log6－log62＝log6＝log6.2．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．等边三角形  D．钝角三角形解析：选B　由题意知Δ＝0，即(－2)2－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0，化简得2lg a－lg(c2－b2)＝0，所以lg ＝0，所以＝1，所以a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．3．lg －2lg ＋lg 等于(　　)A．lg 2  B．lg 3C．lg 4  D．lg 5解析：选A　lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.4．计算(log32＋log23)2－－的值为(　　)A．log26  B．log36C．2  D．1解析：选C　原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是(　　)A．1  B．2C．3 D.4解析：选B　由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.6．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析：logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.答案：817．化简：log3＋log3＋log3＋…＋log3＝________．解析：原式＝log3＝log3＝－4.答案：－48．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．解析：由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.答案：39．(2021·安徽安庆高一月考)(1)计算：log23－log－；(2)已知lg 5＝a，lg 7＝b，试用a，b表示log2849.解：(1)log23－log－＝log23＋(log28－log23)－16＝3－8＝－5.(2)log2849＝＝＝＝.10．(2021·河北唐山一中高一月考)已知loga3＝m，loga2＝n(a>0，且a≠1)．(1)求am＋2n的值；(2)若0<x<1，x＋x－1＝a，且m＋n＝log32＋1，求x2－x－2的值．解：(1)由loga3＝m，loga2＝n得am＝3，an＝2，因此am＋2n＝am·a2n＝3×22＝12.(2)∵m＋n＝log32＋1，∴loga3＋loga2＝loga6＝log36，即a＝3，因此x＋x－1＝3.于是(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝5，由0<x<1知x－x－1<0，从而x－x－1＝－，∴x2－x－2＝(x－x－1)(x＋x－1)＝－3.[B级　综合运用]11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)A．1033  B．1053C．1073  D．1093解析：选D　由已知得，lg＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.12．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　)A.＋＝1  B.＋＝2C.＋＝2  D.＋＝解析：选BCD　a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D不正确．故选B、C、D.13．已知a>0，b>0，且a＋b＝20，则lg a＋lg b的最大值为________．解析：∵a>0，b>0，a＋b＝20，∴20＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，即ab≤100，而lg a＋lg b＝lg ab≤lg 100＝2，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，故lg a＋lg b的最大值为2.答案：214．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解：因为v＝ln＝2 000·ln，所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.[C级　拓展探究]15．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.(1)求使2x＝py成立的p的值；(2)求证：＝－.解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，因为log3k≠0，所以p＝4log32.(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.