人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数复习练习题

指数函数及其性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是.

2．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)

A．b>c>a  B．b>a>c

C．a>b>c  D．c>b>a

解析：选A　a＝＝0.30.5.

∵f(x)＝0.3x在R上单调递减，

∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1.

又b＝20.3>20＝1，∴a<c<b，故选A.

3．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)

A．f(－2)>f(－1)  B．f(－1)>f(－2)

C．f(－2)>f(2)  D．f(－4)>f(3)

解析：选AD　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确．

4．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　)

A．f(x)在[－1，1]上单调递增

B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象过点(0，1)

D．f(x)的值域为[1，＋∞)

解析：选AB　f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选A、B.

5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：选B　由f(1)＝，得a2＝，于是a＝，

因此f(x)＝.

令t＝|2x－4|，所以h(t)＝为减函数．

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.

6．不等式23－2x<0.53x－4的解集为________．

解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，

因为函数y＝2x是R上的增函数，

所以3－2x<4－3x，解得x<1，

则解集为{x|x<1}．

答案：{x|x<1}

7．函数y＝3的单调递减区间是________．

解析：设u＝，则y＝3u，

因为u＝在(－∞，0) 和(0，＋∞)上是减函数，

且y＝3u在R上是增函数，

所以函数y＝3的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．

答案：(－∞，0)和(0，＋∞)

8．(2021·黑龙江大庆实验中学高一月考)已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．

解析：由已知可得解得

则不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，设g(x)＝＋－m，

显然函数g(x)＝＋－m在(－∞，1]上单调递减，

∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m，

故－m≥0，即m≤，

∴实数m的最大值为.

答案：

9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)．

(1)求a的值；

(2)若a2x＋1<a3x－1，求x的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)，∴a2＝4，又a>0，且a≠1，∴a＝2.

(2)由(1)得a＝2，由a2x＋1<a3x－1，代入a＝2，可得22x＋1<23x－1，由指数函数的单调性可知2x＋1<3x－1，解得x>2，即x的取值范围是(2，＋∞)．

10．设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值．

解：令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.

则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.

配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，

∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，

∴当t＝3时，ymin＝；

当t＝1时，ymax＝.

故函数的最大值为，最小值为.

[B级　综合运用]

11．若不等式2x2＋1≤的解集是函数y＝2x的定义域，则函数y＝2x的值域是(　　)

A.  B.

C.  D．[2，＋∞)

解析：选B　由2x2＋1≤得2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的定义域为[－3，1]．由于函数y＝2x在R上单调递增，故当x＝－3时取得最小值，当x＝1时取得最大值2，所以函数的值域为.故选B.

12．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　)

A．2 025  B．2 022

C．2 020  D．2 019

解析：选B　f(x)＝＝2 019－，

∴f(－x)＝2 019－＝2 019－.

因此f(x)＋f(－x)

＝4 038－2 016

＝4 038－2 016＝2 022.

又f(x)在[－a，a]上是增函数，

∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝2 022，故选B.

13．函数y＝的单调递增区间为________；奇偶性为________(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”)．

解析：设u＝－|x|＋1，则y＝.易知u＝－|x|＋1的单调递减区间为[0，＋∞)，y＝是减函数，

∴y＝的单调递增区间为[0，＋∞)．

∵f(－x)＝＝＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

答案：[0，＋∞)　偶函数

14．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝2x＋，f(1)＝.

(1)求实数a的值；

(2)用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)求函数f(x)在[－1，2]上的值域．

解：(1)由题意得f(1)＝2＋＝，

∴a＝1.

(2)证明：由(1)知a＝1，∴f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)·.

∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，2x1＋x2>1，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)易得f(0)＝2，f(2)＝，f(－1)＝，f(x)在[－1，0]上为减函数，在[0，2]上为增函数，

∴f(x)的值域为.

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝2－x.

(1)求f(0)－2××2－2的值；

(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：

①h(x)为偶函数；

②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)＝2；

③g(x)>0且g(x)恒过(0，1)点．

写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由．

解：(1)由题意知：f(0)－2××2－2＝20－2×2×2－2＝1－2＝1－20＝0.

(2)满足题意的函数g(x)＝2x.

理由如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，

所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数．

②h(x)＝2x＋2－x≥2＝2＝2＝2，

当且仅当2x＝2－x，即x＝0时等号成立，

③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0，1)点．