高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题，共5页。

1．下列各对角中，终边相同的是( )
A.eq \f(20π,3)，eq \f(29π,3) B．－eq \f(π,3)，eq \f(22π,3)
C.eq \f(3π,2)，－eq \f(3π,2) D．－eq \f(7π,9)，－eq \f(25π,9)
解析：选D A错误，eq \f(20π,3)＝6π＋eq \f(2π,3)，eq \f(29π,3)＝10π－eq \f(π,3)，终边不相同；B错误，eq \f(22,3)π＝6π＋eq \f(4π,3)，其终边与－eq \f(π,3)的终边不同；C错误，eq \f(3π,2) 的终边在y轴的负半轴上，而－eq \f(3π,2)的终边在y轴的正半轴上，所以终边不相同；D正确，因为－eq \f(25π,9)＝－2π－eq \f(7π,9)，所以－eq \f(7π,9)和－eq \f(25π,9)的终边相同．
2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π，则这个圆心角所对的弧长为( )
A．2π B．πsin 2
C.eq \f(π,sin 1) D.eq \f(π,2sin 1)
解析：选C 由题知弧度数θ＝2的圆心角所对的弦长为π，设圆的半径为r，由sin 1＝eq \f(\f(π,2),r)，得r＝eq \f(π,2sin 1).根据弧长公式l＝θr＝2r＝eq \f(π,sin 1).故选C.
3．把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为( )
A．－3π－eq \f(1,6)π B．－4π＋150°
C．－3kπ－30° D．－4π＋eq \f(5,6)π
解析：选D 因为－570°与eq \f(5,6)π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为－4π＋eq \f(5,6)π.
4．(多选)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))
解析：选CD 直线y＝－x过原点，经过第二、四象限，故在[0，2π)内终边在直线y＝－x上的角有两个：eq \f(3π,4)，eq \f(7π,4).因此终边在直线y＝－x上的角的集合：
S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3π,4)＋k·2π，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(7π,4)＋k·2π，k∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3π,4)＋（2k＋1）π，k∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3π,4)＋kπ，k∈Z)))).
或者表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故选C、D.
5.(2021·湖北荆州高一质检)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图中阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，矢为2的弧田，按照上述方法计算出面积是( )
A．2＋4eq \r(3) B.eq \r(3)＋eq \f(1,2)
C．2＋8eq \r(3) D．4＋8eq \r(3)
解析：选A 如图所示，∵∠AOB＝eq \f(2π,3)，∴∠AOD＝eq \f(π,3)，
∵CD＝2，OD＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)OC，∴OA＝4，AD＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，
∴弧田的面积为eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋4)＝4eq \r(3)＋2，故选A.
6．－105°化为弧度为________，eq \f(11π,3)化为角度为________．
解析：－105°＝－105×eq \f(π,180)＝－eq \f(7,12)π，
eq \f(11,3)π＝eq \f(11,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝660°.
答案：－eq \f(7,12)π 660°
7．已知扇形的圆心角为eq \f(π,4)，弧长为π，则扇形的面积为______．
解析：由扇形的圆心角α＝eq \f(π,4)，弧长l＝π，得扇形的半径r＝eq \f(l,α)＝4，
则扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×π×4＝2π.
答案：2π
8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq \f(1,3)α.
答案：eq \f(1,3)
9．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)eq \f(23,6)π.
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋eq \f(5π,3)，
∴－1 500°与eq \f(5π,3)终边相同，是第四象限角．
(2)∵eq \f(23,6)π＝2π＋eq \f(11,6)π，
∴eq \f(23,6)π与eq \f(11,6)π终边相同，是第四象限角．
10．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝eq \f(π,3).
(2)因为α＝eq \f(π,3)，所以l＝αr＝eq \f(10π,3)，
S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3).
又因为S△AOB＝eq \f(1,2)×10×10×eq \f(\r(3),2)＝25eq \r(3)，
所以S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(50π,3)－25eq \r(3)＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).
[B级 综合运用]
11.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转eq \f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转( )
A.eq \f(π,8) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,2) D．π
解析：选B 设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以eq \f(150,2)×eq \f(π,2)＝eq \f(300,2)×θ，解得θ＝eq \f(π,4)，故选B.
12．(2021·湖南张家界高一质检)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图所示．
设制作扇子的扇形面积为S1，圆面中剪下丢去部分的面积为S2，当eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618时，扇面看上去形状较为美观，那么此时制作扇子的扇形圆心角的度数约为( )
A．127.50° B．137.50°
C．147.50° D．150.50°
解析：选B 设圆的半径为R，圆面中剪下扇形的圆心角为α，剪下丢去部分的圆心角为β，依题意得eq \f(S1,S2)＝eq \f(\f(1,2)α·R2,\f(1,2)β·R2)＝eq \f(α,β)＝eq \f(\r(5)－1,2)，
∴β＝eq \f(\r(5)＋1,2)α.又α＋β＝360°，
∴α＋eq \f(\r(5)＋1,2)α＝360°，解得α＝eq \f(3－\r(5),2)×360°≈137.50°.故选B.
13．(2021·安徽六安舒城中学高一统考)若角θ与2θ的终边关于x轴对称，且－π≤θ≤π，则θ所构成的集合为________．
解析：角θ与2θ的终边关于x轴对称，
所以得到θ＝2kπ－2θ，k∈Z，所以θ＝eq \f(2kπ,3)，k∈Z.
因为－π≤θ≤π，所以k＝－1，0，1，所以θ＝－eq \f(2π,3)，0，eq \f(2π,3) .
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0，\f(2π,3)))
14．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq \f(25,18)π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq \f(25,18)π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq \f(25,18)π<4π(k∈Z)．
解得－eq \f(97,36)∴θ的值是－eq \f(47,18)π，－eq \f(11,18)π，eq \f(25,18)π，eq \f(61,18)π.
[C级 拓展探究]
15．如图，一长为 eq \r(3)，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为eq \f(π,6)，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)
解：在扇形ABA1中，圆心角恰为eq \f(π,2)，弧长l1＝eq \f(π,2)·AB＝eq \f(π,2)·eq \r(3＋1)＝π，面积S1＝eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·AB2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·4＝π.在扇形A1CA2中，圆心角也为eq \f(π,2)，弧长l2＝eq \f(π,2)·A1C＝eq \f(π,2)·1＝eq \f(π,2)，面积S2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·A1C2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·12＝eq \f(π,4).在扇形A2DA3中，圆心角为π－eq \f(π,2)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，弧长l3＝eq \f(π,3)·A2D＝eq \f(π,3)·eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)π，面积S3＝eq \f(1,2)·eq \f(π,3)·A2D2＝eq \f(1,2)·eq \f(π,3)·(eq \r(3))2＝eq \f(π,2)，∴点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋eq \f(π,2)＋eq \f(\r(3)π,3)＝eq \f(（9＋2\r(3)）π,6)，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,2)＝eq \f(7π,4).