高中数学人教A版（2019）必修第一册 第四章指数函数与对数函数单元测试

第四章     指数函数与对数函数单元测试4

一、单选题

1．函数f(x)=的值域是（    ）

A．(-∞，1) B．(0，1)

C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞)

2．函数，的零点个数是（    ）.

A．0 B．1 C．2 D．3

3．方程的解所在的区间是

A． B． C． D．

4．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是，后半路程的行驶速度是，则表示甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的图象为（    ）

A．B．C．D．

5．函数的图象

A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

6．已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ）

A．B．C．D．

7．设函数（，且）的图象过点，其反函数的图象过点，则等于（    ）

A．6 B．5

C．4 D．3

8．若，则数的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．

A． B． C． D．

11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

12．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）．

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

三、填空题

13．下列说法正确的是________（填序号）．

①一次函数在上只有一个零点；

②二次函数在上只有一个零点；

③指数函数在上没有零点；

④对数函数在上只有一个零点；

⑤幂函数在其定义域内可能没有零点．

14．若函数f(x)= (且)有两个零点，则实数的取值范围是_______.

15．已知，则________．

16．如图所示，已知函数图像上的两点A，B和函数上的点C，线段AC 平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为,则实数的值为_______________.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的零点；

（3）若函数的最小值为－4，求的值.

18．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图(2)所示.

（1）（2）

（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式及日销售金额M（元）与时间的函数关系式.

（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系式为，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

19．已知是定义在上的偶函数，且当时，

（1）求函数的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

20．已知函数（为常数且）的图象经过点，

（1）试求的值；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

21．函数

（1）求证：在上是增函数.

（2）若函数是关于的方程在有解，求的取值范围.

22．已知在函数的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标依次为t，，，其中.

（1）设的面积为S，求S关于t的解析式；

（2）判断函数的单调性；

（3）求的最大值.

参考答案

1．B

【解析】∵3x+1>1，∴0<<1，

∴函数的值域为(0，1).

故选：.

2．A

【解析】由于，，

因此不存在使得，

因此函数没有零点.

故选：.

3．C

【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.

4．B

【解析】∵，∴前一半路程耗时多，后一半路程耗时少，B选项正确.

故选：B

5．D

【解析】试题分析：，因为，所以为偶函数．所以的图象关于y轴对称．故选D.

6．C

【解析】若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．

7．C

【解析】由题意，函数的图象过点，其反函数的图象过点，

可得，即，解得，则．

故选C．

8．A

【解析】.

故选：A

9．AD

【解析】解：∵，

∴若，则，即．

∴，故A正确．

，故D正确．

若，则，

∴，，故BC错误，

故选：AD

10．BC

【解析】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．

当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．

故选：BC

11．AC

【解析】因为是偶函数，

所以，

，

．

因为，

，所以．

因为在上单调递增，

所以．

所以．

故选：AC

12．ABC

【解析】对于A，因为，所以的图象可由的图象平移得到，所以A正确；

对于B，设，则，

，因为，

所以的图象关于直线对称，B正确；

对于C，设，则，

，因为，

所以的图象关于点对称，所以C正确；

对于D，由，得，化为，，若，则；若，则，所以D错误．

故选：ABC

13．①③④⑤

【解析】①一次函数在上是单调函数，只有一个零点，①正确；

②当二次函数的判别式大于0时，函数与横轴有两个交点，故有两个零点；判别式等于0时有一个零点；判别式小于0时没有零点，二次函数的零点有三种情况：0个，1个，2个，故不正确；

③指数函数的值域为，没有零点，③正确；

④对数函数是单调函数，且图象过定点，故只有一个零点，④正确；

⑤幂函数在定义域内没有零点，⑤正确．

故答案为：①③④⑤

14．

【解析】试题分析：令，则，当时，为减函数，为增函数，至多只有一个交点，不符合题意.当时，的图像显然有两个交点，故.

15．

【解析】解：因为，

所以，，．

故答案为：.

16．

【解析】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），

∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，

∴AC＝2，2+log2p＝q，

∴p＝2q﹣2，∴4p＝2q；

又x0﹣p，∴p＝x0，

∴x0＝p；

又2+log2x0﹣q＝1，

∴log2x0＝q﹣1，x0＝2q﹣1；

∴p2q﹣1；2p+22q＝4p，

∴p，

故答案为．

17．（1）（－3，1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由已知得，解得所以函数的定义域为（－3，1）.

（2），

令，得，即，解得，

∵，

∴函数的零点是

（3）由（2）知，，

∵，∴.

∵，∴，

∴，∴.

18．（1）；（2）4月份的前11天甲商店每天的销售金额比乙商店少，以后乙商店每天的销售金额均比甲商店少

【解析】（1）设销售价格与时间之间的函数关系式是，

将（0，15），（30，30）代入得解得

∴.

设日销售量与时间之间的函数关系式为，

将（0，160），（30，40）代入得解得，

∴

故

（2）∵，

∴.

当时，；当时，.

即4月份的前11天甲商店每天的销售金额比乙商店少，以后乙商店每天的销售金额均比甲商店少.

19．（1）（2）或

【解析】（1）由题意，令，则，

因为是定义在上的偶函数，所以，

即当时，，

所以函数的解析式为．

（2）由内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递减，根据复合函数的单调性，可得在上单调递增，

又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，

又由，可得或，

即或，解得或．

即实数的取值范围或．

20．（1）；（2）.

【解析】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.

（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.

21．（1）见解析； （2）.

【解析】1）（1）任设x1＜x2，，

∵x1＜x2，

∴，

∴，

即f（x1）＜f（x2），

即函数的在定义域上单调递增．

 2）由g(x)=m＋f(x)，∴，

当1≤x≤2时，，，

22．

（1）（）

（2）减函数

（3）

【解析】

(1)根据图像得到：三角形的面积=梯形的面积梯形的面积梯形的面积，代入点坐标，从而得到面积表达式；（2）根据复合函数单调性的法则，得到结果；（3）由（2）的结论，可知函数在时取到最大值，从而得到的最大值是.

（1）

作出函数的图象如图所示，A，B，C三点的坐标分别为，，，分别过A，B，C三点向x轴作垂线，垂足分别为E，F，N，

则的面积=梯形的面积梯形的面积梯形的面积

，

即（）.

（2）

（）是复合函数，其外层是一个增函数，

当时，内层是一个减函数，故函数（）是一个减函数.

（3）

由（2）的结论，可知函数在时取到最大值，，

故的最大值是.