高中数学人教A版（2019）必修第一册 第五章三角函数单元测试2

第五章     三角函数 单元测试2

一、单选题

1．若角的终边上一点的坐标为，则(    )

A． B． C． D．

2．的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知在区间上的最大值为，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

5．，，的大小顺序是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知，那么的值是（    ）

A． B． C．3 D．

7．函数图象的一个对称中心为（    ）

A． B． C． D．

8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：），则点P第一次到达最高点需要的时间为（    ）.

A．2 B．3 C．5 D．10

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．终边在y轴上的角的集合为

B．，则

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角

10．设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（    ）

A． B． C． D．

11．在△中，，则的大小不可能为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，则（    ）

A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

B．在上单调递增

C．在内有2个零点

D．在上的最大值为

三、填空题

13．圆的半径是6 cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________．

14．已知，求__________．

15．已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则_______.

16．将函数的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，若，则___________.

四、解答题

17．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定．求A，的值和M，P两点间的距离．

18．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.

（1）求关于x的函数表达式；

（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.

19．已知函数，其中常数.

（1）令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.

（2）求出（1）中的对称中心和对称轴.

（3）若在上单调递增，求的取值范围.

20．已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

（1）确定的解析式；

（2）若，求函数的单调减区间．

条件①：的最小值为－2；

条件②：图像的一个对称中心为；

条件③：的图像经过点．

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．

21．已知､，且，.

（1）求的值；

（2）令，设，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值，否则，请说明理由.

22．（1）已知角的终边经过点，求的值；

（2）已知，，求的值．

参考答案

1．C

【分析】

根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】

∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，

∴，

故选：C.

2．A

【分析】

利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；

【详解】

.

故选：A.

3．A

【分析】

先求出，再根据解方程即可.

【详解】

因为，即，

又，所以，所以，

所以，．

故选：A．

4．B

【分析】

判断函数为奇函数，排除AC，再计算时，排除D，得到答案.

【详解】

，，∴为奇函数，排除AC.

当，，故，排除D.

故选：B．

5．B

【分析】

直接根据正弦函数的单调性即可得出答案.

【详解】

解：因为，

函数在上递增，，

所以，即.

故选：B.

6．A

【分析】

对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解.

【详解】

，将代入上式，得原式．

故选：A．

7．C

【分析】

由二倍角的余弦公式化简函数解析式，根据余弦型函数的性质求解即可.

【详解】

，

令（），得（），

当时，，即图象的一个对称中心为.

故选：C

8．C

【分析】

设点离水面的高度为，根据题意求出，再令可求出结果.

【详解】

设点离水面的高度为，

依题意可得，，，

所以，

令，得，得，，

得，，

因为点P第一次到达最高点，所以，

所以.

故选：C

9．BD

【分析】

选项A轴线角的写法，y轴正半轴，y轴；选项B利用三角函数线证明即可;选项C角 时不在第一或第二象限角；选项D可以利用图像判断，也可以利用象限角的范围求解即可.

【详解】

选项A轴线角的写法，y轴正半轴，y轴,所以不正确；

选项B，可以利用三角函数线围成面积的大小来比较大小,

所以，故正确

选项C，角为 时不在第一也不在第二象限；选项D中是第二象限角，，所以，当 可判断是第一或第三象限角.

故选：BD.

10．BC

【分析】

是三角形的一个内角所以，根据的范围逐项判断可得答案.

【详解】

因为是三角形的一个内角，所以，

所以；

当时，；

当时，；

.

故选：BC.

11．BCD

【分析】

将题干中两个式子平方后求和化简可得，结合，可得C＝或，又4sinB＝1－3cosA>0，可得cosA<<，则A>，分析即得解

【详解】

由，

两式平方和得

即 9＋16＋24sin(A＋B)＝37，

因而.

在△中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，且

因而C＝或，

又3cosA＋4sinB＝1化为4sinB＝1－3cosA>0，

所以cosA<<，则A>，故C＝

故选：BCD

12．BC

【分析】

A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；

【详解】

由题得，

由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；

令，

得其增区间为，

所以在上单调递增，所以选项B正确；

令得，

得，又．

所以可取，即有2个零点，所以选项正确；

由得，

所以，所以选项D错误．

故选：BC．

13．3π

【分析】

根据扇形的面积公式即可计算.

【详解】

,.

故答案为：3π.

14．或

【分析】

由题意可知，把式子化简成，求出的值，进而求出的值即可.

【详解】

解：由题意可知，

即，解得或，

若，则；

若，则

故答案为：或.

15．

【分析】

根据图象求出、、，然后可得答案.

【详解】

由图象可知，，，∴，由，

得，，解得，，

∵，∴，∴.

故答案为：

16．

【分析】

先求出的解析式，由得到，把整理为，利用二倍角公式即可求解.

【详解】

解：将函数的图象向右平行移动个单位长度，

得到函数的图象，

若，则，

.

故答案为：.

【点睛】

利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算．

17．，，5km．

【分析】

曲线段OSM为函数，的图象，由最大值得出，由周期求得，然后可求得点坐标，从而求得间的距离．

【详解】

解：依题意，有，，即．

又，∴，∴，．

∴当时，，∴．

又，∴（km）．

即M，P两点间的距离为5km．

18．

（1）

（2），

【分析】

（1）依题意可得，，再根据，即可得到函数关系式.

（2）依题意可得，再利用二次函数的性质计算可得；

（1）

解：根据题意，可得，.

又，

所以，所以.

（2）

解：依据题意，可知，

化简得.

于是，当（满足条件）时，.

所以当时铭牌的面积最大，且最大面积为.

19．

（1）

（2）对称轴：，对称中心：

（3）

【分析】

（1）由函数图象变换结论求得函数的解析式；

（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；

（3）求条件可得，由此可求的取值范围.

（1）

，即.

（2）

.即对称轴为又.即对称中心为：

（3）

当时，

，

解得.

又

即的取值范围为.

20．

（1）；

（2）.

【分析】

(1)先根据已知求出的最小正周期，即可求解，

选条件①②：可得的最小值为，可求．根据对称中心可求，即可得解函数解析式；

选条件①③：可得的最小值为，可求．根据函数的图象过点，，可求，可得函数解析式；

选条件②③：根据对称中心可求，再根据函数的图象过点，，可求的值，即可得解函数解析式．

(2)先求g(x)的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解.

（1）

由于函数图像上两相邻对称轴之间的距离为，

∴的最小正周期.

此时.

选条件①②：

∵的最小值为，∴．

∵图象的一个对称中心为，，

∴，

∴，，

∵，∴，此时，

∴．

选条件①③：

∵的最小值为，∴．

∵函数的图象过点，，

则，即，．

∵，∴，

∴，，

∴．

选条件②③：

∵函数的一个对称中心为，，

∴，

∴．

∵，∴，此时．

∴．

∵函数的图象过点，，

∴，即，，

∴，

∴．

综上，不论选哪两个条件，.

（2）

由(1)知，，

∴=

=，

由，

∴g(x)的单调递减区间为：.

21．

（1）；

（2）存在，.

【分析】

(1)根据cos(α＋β)的值求的大小；

(2)利用换元法求解，令即可﹒

（1）

∵､，且，，

∴，，

则，

∵，∴；

（2）

由(1)得，则，

设，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

令，，

当时，，(舍)，

当时，函数图像的对称轴方程为，

∴(舍)，

当时，此时函数图像的开口向下，

∴，又，

∴，解得，符合题意，

∴存在，使得的最小值.

22．（1） ；（2） ．

【分析】

（1）由三角函数定义易得，再利用诱导公式和基本关系式化简为求解；

（2）将两边平方得到，进而求得，与联立求解.

【详解】

解：（1）点到原点的距离，

由三角函数定义有，

；

（2）∵，将两边平方得，

∴，可得，

∴，，

∴，

∵，

∴，联立，

∴，，

∴．