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高中数学新教材必修第一册 第4章 4.5.3 函数模型的应用课件PPT
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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）4.5.3 函数模型的应用第四章 §4.5 函数的应用(二)1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际 问题.学习目标我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？导语问题1 你能写出几种函数模型？提示 问题2 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.随堂演练课时对点练一、应用已知函数模型解决实际问题二、指数型函数模型三、对数型函数模型内容索引一、应用已知函数模型解决实际问题例1 Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝ 其中K为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)A.60 B.62 C.66 D.69√解得t*≈62.反思感悟 利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.跟踪训练1 我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB).对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的√二、指数型函数模型例2 我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.(1)据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2021年底我国人口总数大约为多少亿？(精确到亿)(参考数据：1.0126≈1.295 3，lg 2≈0.301 0，lg 7≈0.845 1，lg 1.01≈0.004 3)解 从1995年底到2021年底，经过26年，由题意知，到2021年底我国人口总数大约为12×(1＋1%)26＝12×1.0126≈12×1.295 3≈15(亿).(2)当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿？解 设需要经过x年我国人口可达16亿，由题意知14×(1＋1%)x＝16，两边取对数得，lg 14＋xlg 1.01＝lg 16，则需要经过14年我国人口可达16亿.反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.跟踪训练2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年√解析 设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(1＋12%)x>200，故2024年研发资金开始超过200万元.三、对数型函数模型√反思感悟 对数型函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.跟踪训练3 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的A.20倍 B.lg 20倍 C.100倍 D.1 000倍√解析 设7级地震最大振幅为A1，则7＝lg A1－lg A0，5级地震最大振幅为A2，则5＝lg A2－lg A0，所以7－5＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.1.知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题.(2)指数型函数模型.(3)对数型函数模型.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论.课堂小结随堂演练1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为1234√12342.下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2√解析 由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数.12343.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为A.略有亏损 B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况√解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.12344.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ 单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是____m/s.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是A.y＝2t B.y＝2t2C.y＝t3 D.y＝log2t16√2.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2x D.y＝100x12345678910111213141516√解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.3.某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年√解析 设第n年获利y元，则y＝20×1.2n，n∈N*,2020年即第1年，20×1.2n>60，所以n≥7，即从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元.123456789101112131415161234567891011121314154.所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10－12W/m2)为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L＝lg ，声强级L的单位名称为贝尔，符号为B，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝尔，简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为A.1万 B.2万 C.5万 D.10万√16123456789101112131415解析 设张飞的声强为I1，一个士兵的声强为I2，根据题意可知，16所以这群士兵的人数为10万.5.2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦.假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过多少天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.050≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3)A.198 B.199 C.197 D.200123456789101112131415√16解析 设经过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，12345678910111213141516又x∈N*，故经过199天能达到最初的16 000倍.1234567891011121314156.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下叙述中正确的是A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月D.浮萍每个月增加的面积都相等√16√123456789101112131415解析 将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误.167.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低 ，则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元.123456789101112131415162 4001234567891011121314158.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为_____________.161234567891011121314159.英国物理学家和数学家牛顿(Isaac Newton,1643－1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k为正常数.某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温为13 ℃，到早上七点时，其体温下降到11 ℃. 若假设室外温度约维持在10 ℃，且人体正常体温为37 ℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡.16123456789101112131415解 设流浪汉在早上t0时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有16所以可以判定流浪汉在早上4点死亡.123456789101112131415解 依题意，得一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166.1610.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)123456789101112131415解 由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N.16(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；12345678910111213141516(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)123456789101112131415解 令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，16因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.综合运用11.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为A.5米 B.10米 C.45米 D.48米√12345678910111213141516解析 设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，因为某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，12345678910111213141516即0.2x＝9，所以x＝45.12.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，13.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过____小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2，即x·(1－2lg 3)>lg 2，14.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的 ，要使通过玻璃的光线强度为原来的 以下，至少需要这样的玻璃板的块数为_____.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)7解析 设至少需要x块玻璃板，12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的(lg 2≈0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 7≈0.845 1)A.18倍 B.21倍 C.24倍 D.27倍√12345678910111213141516解析 由题意可知，看到图形面积大小y与图形实际面积x之间满足y＝x0.7，∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则10＝x0.7，∵lg 27＝3lg 3≈1.43，∴x≈27.1234567891011121314151616.“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年(1)求f(x)的解析式；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？解 令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值.1234567891011121314151612345678910111213141516故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快.
高中数学新教材 同步课件（必修第一册）4.5.3 函数模型的应用第四章 §4.5 函数的应用(二)1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际 问题.学习目标我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？导语问题1 你能写出几种函数模型？提示 问题2 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？提示 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.随堂演练课时对点练一、应用已知函数模型解决实际问题二、指数型函数模型三、对数型函数模型内容索引一、应用已知函数模型解决实际问题例1 Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝ 其中K为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)A.60 B.62 C.66 D.69√解得t*≈62.反思感悟 利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.跟踪训练1 我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB).对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的√二、指数型函数模型例2 我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.(1)据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2021年底我国人口总数大约为多少亿？(精确到亿)(参考数据：1.0126≈1.295 3，lg 2≈0.301 0，lg 7≈0.845 1，lg 1.01≈0.004 3)解 从1995年底到2021年底，经过26年，由题意知，到2021年底我国人口总数大约为12×(1＋1%)26＝12×1.0126≈12×1.295 3≈15(亿).(2)当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿？解 设需要经过x年我国人口可达16亿，由题意知14×(1＋1%)x＝16，两边取对数得，lg 14＋xlg 1.01＝lg 16，则需要经过14年我国人口可达16亿.反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.跟踪训练2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年√解析 设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(1＋12%)x>200，故2024年研发资金开始超过200万元.三、对数型函数模型√反思感悟 对数型函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.跟踪训练3 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的A.20倍 B.lg 20倍 C.100倍 D.1 000倍√解析 设7级地震最大振幅为A1，则7＝lg A1－lg A0，5级地震最大振幅为A2，则5＝lg A2－lg A0，所以7－5＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.1.知识清单：(1)应用已知函数模型解决实际问题.(2)指数型函数模型.(3)对数型函数模型.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论.课堂小结随堂演练1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为1234√12342.下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2√解析 由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数.12343.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为A.略有亏损 B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况√解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.12344.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ 单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是____m/s.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是A.y＝2t B.y＝2t2C.y＝t3 D.y＝log2t16√2.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2x D.y＝100x12345678910111213141516√解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.3.某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年√解析 设第n年获利y元，则y＝20×1.2n，n∈N*,2020年即第1年，20×1.2n>60，所以n≥7，即从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元.123456789101112131415161234567891011121314154.所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10－12W/m2)为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L＝lg ，声强级L的单位名称为贝尔，符号为B，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝尔，简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为A.1万 B.2万 C.5万 D.10万√16123456789101112131415解析 设张飞的声强为I1，一个士兵的声强为I2，根据题意可知，16所以这群士兵的人数为10万.5.2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦.假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过多少天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.050≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3)A.198 B.199 C.197 D.200123456789101112131415√16解析 设经过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，12345678910111213141516又x∈N*，故经过199天能达到最初的16 000倍.1234567891011121314156.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下叙述中正确的是A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月D.浮萍每个月增加的面积都相等√16√123456789101112131415解析 将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误.167.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低 ，则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元.123456789101112131415162 4001234567891011121314158.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为_____________.161234567891011121314159.英国物理学家和数学家牛顿(Isaac Newton,1643－1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k为正常数.某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温为13 ℃，到早上七点时，其体温下降到11 ℃. 若假设室外温度约维持在10 ℃，且人体正常体温为37 ℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡.16123456789101112131415解 设流浪汉在早上t0时刻死亡，根据牛顿冷却模型，有16所以可以判定流浪汉在早上4点死亡.123456789101112131415解 依题意，得一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166.1610.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)123456789101112131415解 由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N.16(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；12345678910111213141516(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)123456789101112131415解 令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，16因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.综合运用11.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为A.5米 B.10米 C.45米 D.48米√12345678910111213141516解析 设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，因为某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，12345678910111213141516即0.2x＝9，所以x＝45.12.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，13.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过____小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2，即x·(1－2lg 3)>lg 2，14.光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的 ，要使通过玻璃的光线强度为原来的 以下，至少需要这样的玻璃板的块数为_____.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)7解析 设至少需要x块玻璃板，12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的(lg 2≈0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 7≈0.845 1)A.18倍 B.21倍 C.24倍 D.27倍√12345678910111213141516解析 由题意可知，看到图形面积大小y与图形实际面积x之间满足y＝x0.7，∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则10＝x0.7，∵lg 27＝3lg 3≈1.43，∴x≈27.1234567891011121314151616.“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f(x)(单位：米)与生长年(1)求f(x)的解析式；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？解 令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值.1234567891011121314151612345678910111213141516故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快.
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