人教A版数学高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 章末测试

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章末测试 第四章 指数函数与对数函数第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2023秋·江苏连云港·高三江苏省海头高级中学校联考阶段练习）若为偶函数，则（    ）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【详解】由，得或，由是偶函数，，得，即，即，则，由于不恒为0，所以，得，故选：D3．（2023·全国·高一随堂练习）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）．A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，故选：A4．（2020秋·天津北辰·高三统考期中）设，，，则、、的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系.【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，，所以，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，因此，.故选：A.6．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（    ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A．20 B．16 C．12 D．7【答案】B【分析】由，解方程即可.【详解】依题意有时，，则，当时，有，，.故选：B7．（2023秋·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（    ）A． B． C．2 D．12【答案】B【分析】由已知可得函数的对称轴与周期性，进而可得函数解析式与函数值.【详解】由为奇函数，可知函数关于中心对称，又为偶函数，则函数关于直线对称，所以函数的周期，且，，所以，解得，，所以当时，，，故选：B.8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围【详解】由，得，因为函数是定义在上的偶函数，所以可化为因为在区间单调递增，所以，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围是，故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）下列说法中正确的有（    ）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】取可判断AB选项；利用指数幂的运算性质可判断C选项；利用对数的换底公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，，A错；对于B选项，当时，有意义，无意义，B错；对于C选项，若，则，，因为，故，C对；对于D选项，若，由换底公式可得，D对.故选：CD.10．（2023秋·江苏连云港·高三江苏省海头高级中学校联考阶段练习）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据对数函数的单调性及取特殊值，，即可判断A；根据幂函数的单调性即可判断B；取特殊值，即可判断C；根据指数函数的单调性即可判断D．【详解】对于A，由函数在上单调递增，又，不妨取，，此时，所以，故A错误；对于B，由函数在R上单调递增，又，所以，所以B正确；对于C，由，不妨取，，此时，故C错误；对于D，由函数在R上单调递减，又，所以，故D正确．故选：BD．11．（2022秋·广东深圳·高一校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】ACD【分析】根据高斯函数的定义，结合指数函数的性质，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，其定义域为，则，即，所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确；对于B中，由，可得，，所以不是偶函数，所以B错误；对于C中，由函数，因为，可得为单调递增函数，则为增函数，所以函数为单调递增函数，所以C正确；对于D中，因为，可得，所以，则，可得，即，所以D正确.故选：ACD.12．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）设是R上的奇函数，且，当时，，则（    ）A． B．的图象关于点对称C．的周期为4 D．在上有7个零点【答案】BC【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于C，因为，则，所以的一个周期为4，故C正确；对于B，因为是上的奇函数，则，即图象关于对称，因为关于点对称，所以的图象关于点对称，又的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确；对于D，由是上的奇函数，关于对称，周期为4，又当时，，令，得，从而作出在上的大致图象，  注意到，，所以在上有8个零点，故D错误.故选：BC.第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023秋·广东湛江·高二雷州市第一中学校考阶段练习）已知函数，则＝ ．【答案】－1【分析】根据分段函数限定的范围内求值.【详解】函数，则.故答案为：－114．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）若幂函数过点，则函数的单调减区间是 .【答案】【分析】由题意求出，然后求出对数型函数的定义域，根据内函数在上为减函数，结合复合函数的单调性可得原复合函数的单调减区间.【详解】解：∵幂函数过点，∴，即.则函数.由，解得：或.∴函数的定义域为，函数在上为减函数，而外函数为定义域内的增函数，∴函数的单调减区间为.故答案为：.15．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设，则不等式的解集为 .【答案】【分析】作出函数图象，由指数函数与对数函数的性质求解．【详解】作出函数图象如图所示，令得：；令得：，由图可得：不等式的解集为，故答案为：.16．（2023秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 .【答案】【分析】令，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后在同一坐标系中，画出与的函数图象，最后根据图象求解出结果.【详解】令，则,在同一坐标系中画出，图象的示意图，如图所示，若存在2个零点，则的图象与的图象有2个交点，平移的图象可知，当直线过点时，有2个交点，此时，得到，当在上方，即时，仅有1个交点，符合题意；当在下方，即时，有2个交点，不符合题意，综上，a的取值范围为，故答案为：.  四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解，（2）根据对数的运算法则和性质即可求解.【详解】（1）原式．（2）原式.18．（2023秋·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知函数，且．(1)求的定义域；(2)当时，求使的的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数型函数的定义域直接列不等式求解；（2）由，判断函数单调性，根据单调性解不等式.【详解】（1）由，得，解得，所以函数的定义域为；（2）由已知得，又由函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，又，所以的解集为，即.19．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）已知指数函数（，且）的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入求解即可；（2）由指数函数的单调性求解即可.【详解】（1）∵指数函数（，且）过点，∴，∴解得，∴函数的解析式为.（2）若，则，∴，由指数函数的单调性知，在上单调递减，∴，解得，∴实数的取值范围是.20．（2021秋·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的最大值，并给出函数取最大值时对应的的值；(2)解不等式.【答案】(1)6，(2)或【分析】（1）换元，转化为二次函数求最值即可；（2）解二次不等式后，再解对数不等式即可.【详解】（1）设，则，对称轴为，二次函数图象开口向上，故当时，即时，.（2）因为，所以，解得或，即或，所以不等式的解集为或.21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可；（2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可.【详解】（1）是奇函数，经检验当时，是奇函数符合题意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，.22．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)【分析】（1）根据奇函数的定义即可求证，（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为对任意成立．即可换元利用二次不等式的性质求解.【详解】（1）是奇函数，理由如下：由，①令，代入①式，得，即．令，代入①式，得，又，则有．即对任意成立，所以是奇函数．（2），即，又在上是单调函数，所以在上是增函数又由（1）是奇函数．，∴，对任意成立．令，问题等价于对任意恒成立．令，其对称轴．当即时，，符合题意；当时，对任意，恒成立．解得．综上所述，当时，对任意恒成立．