2021学年第5章 三角函数5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质第二课时课时作业

课时跟踪检测(四十七)　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象

与性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知ω＞0，函数f(x)＝cos图象的一条对称轴方程为x＝，一个对称中心为，则ω有(　　)

A．最小值2　　　　　 B．最大值2

C．最小值1  D．最大值1

解析：选A　由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.

2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝cos

D．y＝cos

解析：选D　设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，所以解得ω＝2，φ＝.所以函数解析式为y＝sin＝cos.

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量增加的时间段是(　　)

A．[0，5]　　　　　　　 B．[5，10]

C．[10，15]  D．[15，20]

解析：选C　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]．因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.

4．(2021·姜堰二中月考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为函数f(x)零点，直线x＝为函数f(x)的对称轴，且f(x)在上单调，则ω可能等于(　　)

A．11  B．9

C．8  D．6

解析：选B　因为x＝－为函数f(x)零点，所以ω×＋φ＝kπ，k∈Z，又因为直线x＝为函数f(x)的对称轴，所以ω×＋φ＝nπ＋，n∈Z，所以ω＝2(n－k)＋1，又f(x)在上单调，则×≥－，即ω≤12，当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)在上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝，此时f(x)在上单调，满足题意，故ω的值为9，则ω不可能等于11，6，8，故选B.

5．(多选)对于函数f(x)＝cos，下列选项正确的是(　　)

A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cos πx的图象向右平移个单位长度而得到的

B．y＝f(x)的图象过点

C．y＝f(x)的图象关于点对称

D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称

解析：选CD　f(x)＝cos πx的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cos ＝cos，故选项A错误；

当x＝1时，f(1)＝cos＝－，故选项B错误；

当x＝时，f＝cos＝0，y＝f(x)的图象关于点对称，故选项C正确；

当x＝－时，f＝cos＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项D正确．

6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．

解析：由题意设函数周期为T，则＝－＝，∴T＝.∴ω＝＝.

答案：

7.如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(1)＝________．

解析：由|AB|＝5得 ＝5，解得T＝6.

由T＝，ω＞0得ω＝.

又当x＝0时，f(x)＝1，即2sin＝1，

∴sin φ＝，又∵≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，

因此，f(1)＝2sin＝2sin＝2×＝－1.

答案：－1

8．若函数f(x)＝sin(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数的图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈，则x0＝________．

解析：由f(x)＝sin(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为＝，知T＝＝π，得ω＝2，又图象关于点(x0，0)成中心对称，得sin＝0，2x0＋＝kπ(k∈Z)，而x0∈，则x0＝.

答案：

9．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．

解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，

所以ω＝＝＝，所以f(x)＝2sin.

将点(－1，0)代入，得0＝2sin.

因为|φ|＜，所以φ＝，

所以f(x)＝2sin.

(2)因－1≤x≤2，则0≤x＋≤π，

所以0≤sin≤1.所以0≤2sin≤2.

所以函数f(x)的值域为[0，2]．

10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．

解：(1)∵x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，

∴sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝.

(2)由(1)知φ＝，∴y＝3sin.

由题意得2kπ－≤x＋π≤2kπ＋，k∈Z，

即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，

∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，

故该函数的对称中心为(k∈Z)．

[B级　综合运用]

11．智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线y＝2sin(x＋φ)，经过点则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　)

A．y＝2sin  B．y＝－2sin

C．y＝2sin x  D．y＝－2sin x

解析：选B　因为f(x)过点，所以2sin＝，又因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.所以反向波曲线为f(x)＝－2 sin.

12．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是2π

B．函数f(x)的图象关于点对称

C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

D．将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得的函数图象关于y轴对称

解析：选CD　由函数图象可知：A＝2，T＝－＝，所以T＝π，又T＝ ，且ω>0，所以ω＝2，又f＝2sin＝－2，所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z, 又|φ|≤，则φ＝－，所以f(x)＝2sin.

对于A，函数f(x)的最小正周期是π，故A不正确；

对于B，当x＝时，2x－＝－＝，所以点不是函数f(x)的对称中心，故B不正确；

对于C，当x＝时，2x－＝－＝，故C正确；

对于D，函数f(x)的图象向右平移个单位后，得f(x)＝2sin＝2sin＝－2cos 2x，所得函数为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故D正确．

13．已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，则

(1)a＝________；

(2)该函数的对称中心的坐标为________．

解析：(1)当－≤x≤－时，则－≤2x＋≤，

所以当2x＋＝时，f(x)有最大值为＋1.

又因为f(x)的最大值为2，所以＋1＝2，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，

所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的横坐标为－，k∈Z.

又因为函数f(x)＝2sin＋1的图象是函数f(x)＝2sin的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的纵坐标为1，所以对称中心的坐标为，k∈Z.

答案：(1)2　(2)，k∈Z

14．已知点P(1，)是曲线f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)上的一个最高点，且f(9－x)＝f(9＋x)，x∈R，曲线在(1，9)内与x轴有唯一一个交点，求函数f(x)的解析式．

解：∵点P(1，)是曲线f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)上的一个最高点，∴A＝，且直线x＝1是曲线的一条对称轴．

∵f(9－x)＝f(9＋x)，x∈R，∴直线x＝9也是曲线的一条对称轴．

又曲线在(1，9)内与x轴有唯一一个交点，∴直线x＝1，直线x＝9是曲线的两条相邻对称轴．

∴＝9－1＝8，T＝16，∴＝16，ω＝，∴f(x)＝sin.

∵点P(1，)是曲线上的一个最高点，∴×1＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

又|φ|<π，∴φ＝.

故函数解析式为f(x)＝sin，x∈R.

[C级　拓展探究]

15．(2021·苏州高一月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[0，π]上的单调增区间．

解：(1)因为函数f(x)最大值与最小值的差为4，所以A＝2，

又相邻两个零点之间的距离为.

所以T＝π，

所以ω＝＝2，

所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，

又函数f(x)的图象经过点，

所以f(x)＝2sin＝，

即sin＝，

所以＋φ＝2kπ＋或＋φ＝2kπ＋，

解得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋，

又|φ|<，所以φ＝，

所以f(x)＝2sin.

(2)令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

解得 －＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，

因为x∈[0，π]，

所以0≤x≤或≤x≤π，

所以f(x)在[0，π]上的单调增区间是，.