高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数学案

3.1.2　表示函数的方法

(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式；

(2)如图是我国人口出生率变化曲线：

(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：

[问题]　根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？

知识点一　函数的表示方法

1．函数的解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式．

2．函数的表示法

函数三种表示法的优缺点比较

1．函数y＝f(x)的关系如下表，则f(11)＝(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．3

C．4  D．5

答案：C　

2.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　)

A．2  B．4

C．0  D．3

答案：C　

3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．

答案：f(x)＝－

知识点二　函数的图象

1．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．

2．作图、识图与用图

(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；

(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.

1．函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点．因此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域．

2．函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值．

3．每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．　　　　

函数的图象是否可以关于x轴对称？

提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．

1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

解析：选D　由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

2.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于(　　)

A．0　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：选C　由题意知，f(3)＝1，所以f ＝f(1)＝2.

3．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是________．(填序号)

解析：由题意知，函数的定义域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函数的图象是三个点，故③正确．

答案：③

[例1]　(链接教科书第68页例3)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．

[解]　(1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为

(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为

(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．

1．函数的三种表示法的选择

解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．

2．用三种表示法表示函数时的注意点

(1)解析法必须注明函数的定义域；

(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；

(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　　　

[跟踪训练]

1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是(　　)

A．这天15时的温度最高

B．这天3时的温度最低

C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃

D．这天21时的温度是30 ℃

解析：选C　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14(℃)，故C错误．

2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

则f(g(1))的值为_______；当g(f(x))＝2时，x＝_______．

解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.

答案：1　1

[例2]　作出下列函数的图象并求出其值域：

(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；

(2)y＝，x∈[2，＋∞)．

[解]　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．

(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．

描点法作函数图象的三个关注点

(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；

(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；

(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．

[注意]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．　　　　

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．

(1)画出f(x)图象的简图；

(2)根据图象写出f(x)的值域．

解：(1)f(x)图象的简图如图所示．

(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]．

角度一　用待定系数法求函数解析式

[例3]　已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．

[解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，

∴∴

∴f(x)＝x2－2x－1.

待定系数法求函数解析式

已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．　　　　

角度二　用换元法(配凑法)求函数解析式

[例4]　求下列函数的解析式：

(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；

(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．

[解]　(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.

因为＋1≥1，

所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)因为f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，

所以f(x)＝2x－1.

换元法、配凑法求函数解析式

已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法：

(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域；

(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．　　　　

角度三　用方程组法求函数解析式

[例5]　已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．

[解]　在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代换x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，

则

消去f(－x)，可得f(x)＝x－1.

方程组法求函数解析式

方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x)．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2x＋2　　　　　 B．f(x)＝－2x－2

C．f(x)＝2x－2  D．f(x)＝－2x＋2

解析：选B　设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意得解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故选B.

2．已知f＝＋，求f(x)的解析式．

解：令t＝＝＋1，则x＝(t≠1)，

把x＝代入f＝＋，得

f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1(t≠1)，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．

1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)

A．3　　 　 B．2　　 　　C．1　　 　 D．0

解析：选B　由函数y＝g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.

2．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．

解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.

答案：5

3．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

所以解得

所以f(x)＝x2＋1.