高中数学湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.3 对数函数学案设计

4．3.2　对数的运算法则

对数是指数的另一种表达形式．对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数的运算性质？

[问题]　计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？

(1)log2(4×8)，log24＋log28；

(2)log2，log232－log24；

(3)log225，5log22.

知识点一　对数的运算法则

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(3)loga＝logaM－logaN(其中a>0且a≠1，M>0，N>0)．

对数运算中的常见公式及推广

(1)loga＝logaM(M>0，n∈N＋，n>1，a>0，且a≠1)；

(2)loga＝－logaM(M>0，a>0，且a≠1)；

(3)loga＝logaM(M>0，n，p∈N＋，p，n>1，a>0，且a≠1)；

(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1)．　　　　

对数的运算法则(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN是如何证明的？

提示：设logaM＝p，logaN＝q，

∴ap＝M，aq＝N，

M·N＝ap·aq＝ap＋q，

∴上式的对数形式为loga(M·N)＝logaM＋logaN.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)

(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．log84＋log82＝________．

解析：log84＋log82＝log84×2＝log88＝1.

答案：1

3．log510－log52＝________．

解析：log510－log52＝log5＝log55＝1.

答案：1

知识点二　换底公式

1．(1)以10为底的对数叫作常用对数．把log10N记为lg N；

(2)以e(e＝2.718 28…)为底的对数叫作自然对数，把logeN记为ln N.

2．换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

3．几个常用推论

(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；

(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；

(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．

1.＝________．

解析：＝log39＝2.

答案：2

2．log29·log32＝________．

解析：log29·log32＝·＝＝2.

答案：2

[例1]　(链接教科书第121页习题3题)求下列各式的值：

(1)log2(49×26)；

(2)lg；

(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；

(4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

[解]　(1)log2(49×26)＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.

(2)lg＝lg 1 000＝lg 1 000＝×3＝.

(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；

(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·温州高一检测)lg＝(　　)

A．－4　　　 B．4　　　　

C．10　　　 D．－10

解析：选A　lg＝lg＝lg 1－lg 104＝－4.

2．化简下列各式：

(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；(2).

解：(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.

(2)原式＝＝＝.

[例2]　(链接教科书第116页例7)计算：(1)log29·log34；

(2).

[解]　(1)由换底公式可得，log29·log34＝·＝·＝4.

(2)原式＝×＝log×log 9＝×＝×＝－.

利用换底公式求值的思想与注意点

[跟踪训练]

1．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)

A．9　　　　　　　　　 B．

C．25  D．

解析：选D　log5·log36·log6x＝－log53·log36·log6x＝－log5x，则log5x＝－2，则x＝5－2＝.故选D.

2．log23×log34×log45×log52＝________．

解析：log23×log34×log45×log52

＝×××

＝1.

答案：1

　　[例3]　已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

[解]　因为18b＝5，所以b＝log185.

所以log3645＝＝

＝＝

＝＝

＝.

[母题探究]

1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?

解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.

2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？

解：因为9b＝5，所以log95＝b.

所以log3645＝＝

＝＝.

求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点

(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；

(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；

(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．　　　　

[跟踪训练]

已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．

解：由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝.

所以logmz＝－－＝，所以logzm＝60.

[例4]　(链接教科书第117页例9)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1　　　　　　　　 B．10.1

C．lg 10.1  D．10－10.1

[解析]　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，

代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，

所以lg ＝10.1，所以＝1010.1.故选A.

[答案]　A

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算．　　　　

[跟踪训练]

有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2020年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2019年开始增加的年份的数量(n∈N＋)，

由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×，由400×＝4 000，两边取以10为底的对数并化简可得n(lg 3－lg 2)＝1，

∴n(0.477 1－0.301 0)＝1，即0.176 1n＝1，又n∈N＋，

∴n＝6，∴2 019＋6＝2 025.故从2025年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．

答案：2025

1．计算2log63＋log64的结果是(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．log62

C．log63  D．3

解析：选A　2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.

2．已知3x＝log12(3y)＋log12(y>0)，则x的值是(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．3

解析：选B　3x＝log12(3y)＋log12＝log1212＝1，所以x＝0，故选B.

3．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)

A.  B．9

C．18  D．27

解析：选B　∵log34·log48·log8m＝··＝＝2，∴lg m＝2lg 3，∴m＝9.

4．已知ab>0，有下列四个等式：

①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；③lg＝lg；④lg(ab)＝，其中正确的是________．

解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立．

答案：③

5．计算：＝________．

解析：原式＝

＝

＝＝＝＝1.

答案：1