人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数学案，共8页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．lgaM·lgaN＝lga(M＋N)B.eq \f(lgaM,lgaN)＝lga(M－N)
C．lgaeq \r(m,Mn)＝lgamMnD．lgaM＝eq \f(lg－2M,lg－2a)
2．若ab>0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgeq \f(a,b)＝lg a－lg b；③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lgeq \f(a,b)；④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10).
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②C．③④ D．③
3.若lg x－lg y＝a，则 lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3＝( )
A．3a B.eq \f(3,2)aC．a D.eq \f(a,2)
4．计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)；(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)lgaeq \r(n,a)＋lgaeq \f(1,an)＋lgaeq \f(1,\r(n,a))(a＞0且a≠1)．
5.若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lgabcx＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
6．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝________.
7．计算：
(1)lg89×lg2732；(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3)；(4)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
8.(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(2)已知lg189＝a,18b＝5，用a、b表示lg3645.
关键能力综合练
一、选择题
1．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
2．设a＝lg32，则lg38－2lg36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
3．若a>0，，则等于( )
A．2 B．3C．4 D．5
4．已知lg23＝a，lg37＝b，则lg27＝( )
A．a＋b B．a－b
C．ab D.eq \f(a,b)
5．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝( )
A.eq \r(10) B．10
C．20 D．100
6．(探究题)已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8C．4 D．lg48
二、填空题
7．若a＝lg23，b＝lg32，则a·b＝________，lg a＋lg b＝________.
8．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．
9．(易错题)设lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则lg4eq \f(x,y)的值为________．
三、解答题
10．2016年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)．
学科素养升级练
1．(多选题)下列各选项中，值为1的是( )
A．lg26·lg62 B．lg62＋lg64C．(2＋eq \r(3))·(2－eq \r(3)) D．(2＋eq \r(3))－(2－eq \r(3))
2．方程lg(4x＋2)＝lg 2x＋lg 3的解是________．
3．(学科素养—数学运算)设a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
答案
必备知识基础练
1．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，lgaeq \r(m,Mn)＝lgaM＝eq \f(n,m)lgaM，lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.
答案：C
2．解析：①②当a<0，b<0时不成立，④当ab＝1时，lgab10无意义，∴选D.
答案：D
3．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
答案：A
4．解析：(1)解法一 原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2).
解法二 原式＝lgeq \f(4\r(2),7)－lg 4＋lg 7eq \r(5)＝lgeq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq \r(2)×eq \r(5))＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝lgaa＋lgaa－n＋lgaa＝eq \f(1,n)lgaa－nlgaa－eq \f(1,n)lgaa＝eq \f(1,n)－n－eq \f(1,n)＝－n.
5．解析：∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).
同理lgxc＝eq \f(1,6)，lgxb＝eq \f(1,3).
∴lgabcx＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
答案：A
6．解析：由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，∴x＝lg336，y＝lg436，
由换底公式得：
x＝eq \f(lg3636,lg363)＝eq \f(1,lg363)，y＝eq \f(lg3636,lg364)＝eq \f(1,lg364)，
∴eq \f(1,x)＝lg363，eq \f(1,y)＝lg364，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg36(32×4)＝lg3636＝1.
答案：1
7．解析：(1)lg89×lg2732＝eq \f(lg 9,lg 8)×eq \f(lg 32,lg 27)
＝eq \f(lg 32,lg 23)×eq \f(lg 25,lg 33)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(5lg 2,3lg 3)＝eq \f(10,9).
(2)lg927＝eq \f(lg327,lg39)＝eq \f(lg333,lg332)＝eq \f(3lg33,2lg33)＝eq \f(3,2).
(3)lg2eq \f(1,125)×lg3eq \f(1,32)×lg5eq \f(1,3)＝lg25－3×lg32－5×lg53－1
＝－3lg25×(－5lg32)×(－lg53)
＝－15×eq \f(lg 5,lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 5)＝－15.
(4)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,4).
8．解析：(1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
…
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
由题意得0.75x＝eq \f(1,3)，
∴x＝lg0.75eq \f(1,3)＝eq \f(lg\f(1,3),lg\f(3,4))＝eq \f(－lg 3,lg 3－lg 4)≈4.
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3).
(2)解法一 由18b＝5，得lg185＝b，又lg189＝a，
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(18×2×9,9))＝eq \f(lg189＋lg185,lg18182－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法二 设lg3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，
从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，
得2x＝lg185＋(x＋1)lg189，
又18b＝5，所以b＝lg185.
所以2x＝b＋(x＋1)a，
解得x＝eq \f(a＋b,2－a)，即lg3645＝eq \f(a＋b,2－a).
关键能力综合练
1．解析：lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3.
答案：D
2．解析：lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案：A
3．解析：a＝eq \f(4,9)，∴a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，
∴lga＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝3.
答案：B
4．解析：lg27＝lg23×lg37＝ab.
答案：C
5．解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝lg2m，b＝lg5m.
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，∴m2＝10.
又∵m>0，∴m＝eq \r(10)，选A.
答案：A
6．解析：∵2x＝3，∴x＝lg23.又lg4eq \f(8,3)＝y，
∴x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg23＋2(lg48－lg43)
＝lg23＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg22－\f(1,2)lg23))＝lg23＋3－lg23＝3.故选A.
答案：A
7．解析：∵a＝lg23，b＝lg32，
则a·b＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝1，
lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.
故答案为：1,0.
答案：1 0
8．解析：lgab·lg3a＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝eq \f(lg b,lg 3)＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34＝lg 81，∴b＝81.
答案：81
9．解析：由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得
lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得eq \f(x,y)＝4或eq \f(x,y)＝1，
又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴eq \f(x,y)≠1，
∴lg4eq \f(x,y)＝1.
答案：1
10．解析：设经过x年国民生产总值为2016年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.
∴x＝eq \f(lg 2,lg 1.08)≈eq \f(0.301 0,0.033 4)≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍．学科素养升级练
1．解析：A.原式＝eq \f(lg 6,lg 2)·eq \f(lg 2,lg 6)＝1，因此正确；B.原式＝lg68>1，因此不正确；C.原式＝(4－3)＝1，因此正确；D.原式＝eq \r(2＋\r(3))－eq \r(2－\r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)－eq \f(\r(6)－\r(2),2)＝eq \r(2)≠1，因此不正确．故选AC.
答案：AC
2．解析：原方程可化为lg(4x＋2)＝lg(2x×3)，从而可得4x＋2＝2x×3，令t＝2x，则方程可化为t2＋2＝3t，即t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，所以x＝0或x＝1.经检验，x＝0与x＝1都是原方程的解．
答案：x＝0或x＝1
3．解析：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq \f(1,2).
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2).
∴lg(ab)·(lgab＋lgba)
＝(lg a＋lg b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b)))
＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg b2＋lg a2,lg a·lg b)
＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg a＋lg b2－2lg a·lg b,lg a·lg b)
＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，
即lg(ab)·(lgab＋lgba)＝12.
知识点一
对数运算性质的理解
知识点二
对数运算性质的应用
知识点三
对数换底公式的应用
知识点四
对数的综合应用