新人教版高中数学必修第二册 章末质量评估（六） 试卷课件PPT

章末质量评估(六)

(时间:120分钟　分值:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)

1.在□ABCD中,若=(2,8),=(-3,4),则= (　　)

A.(-1,-12)    B.(-1,12)     C.(1,-12)    D.(1,12)

答案:B

2.在△ABC中,若A=,BC=3,AB=,则C= (　　)

A.或     B.    C.       D.

答案:C

3.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(　　)

A.正方形     B.矩形       C.菱形     D.直角梯形

答案:C

4.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是              (　　)

A.(-2,6)    B.(-6,2)    C.(-2,4) D.(-4,6)

答案:A

5.若点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为(　　)

A.       B.      C.-     D.-

答案:A

6.在△ABC中,若AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是边BC上的高,则·的值等于              (　　)

A.-    B.      C.      D.9

答案:C

7.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于              (　　)

A.      B.1+     C.   D.2

答案:B

8.如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距

15 n mile的C处.若甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为(　　)

A. h 

B.1 h 

C. h 

D.2 h

答案:B

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.若O是平行四边形ABCD对角线的交点,则 (　　)

A.=         B.+= 

C.-=      D.=(+)

答案:AB

10.在△ABC中,若a=5,c=10,A=30°,则B可能是 (　　)

A.135°    B.105°     C.45°      D.15°

答案:BD

11.已知向量 e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是              (　　)

A.(1,0)     B.(0,1)    C.(-1,0)   D.(0,-1)

答案:AC

12.定义平面向量之间的一种运算“☉”:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下列说法正确的是              (　　)

A.若a与b共线,则a☉b=0

B.a☉b=b☉a

C.对任意的λ∈R,有λa☉b=λ(a☉b)

D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2

答案:ACD

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)

13.在△ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C的值为.

14.若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||=2.

15.(本题第一空2分,第二空3分)已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,连接CD,若BD=2,则△BDC的面积是,cos∠CDB=.

16.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,若汽车沿公路行驶1 km后,测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是km.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

17.(10分)在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.

(1)求cos A的值;

(2)求c的值.

解:(1)因为a=3,b=2,B=2A,

所以在△ABC中,由正弦定理得=,

所以=.故cos A=.

(2)由(1),知cos A=,

所以sin A==.

因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.

所以sin B==.

在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以c==5.

18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,||=2||=2,∠OAB=,=(-1,).

(1)求点B,C的坐标;

(2)求证:四边形OABC为等腰梯形.

(1)解:设点B的坐标为(xB,yB),则xB=||+||·cos(π-∠OAB)=,yB=||·sin(π-∠OAB)=,

所以=+=（,）+(-1,)=（,）,

所以点B的坐标为（,）,点C的坐标为（,）.

(2)证明:因为=（,）,=（,）,

所以=3,所以∥.

因为=(-1,),所以||=2.

因为||≠||,||=||=2,

所以四边形OABC为等腰梯形.

19.(12分)在四边形ABCD中,已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),∥.

(1)求x与y的解析式;

(2)若⊥,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.

解:如图所示.

(1)因为=++=(x+4,y-2),

所以=-=(-x-4,2-y).

因为∥,=(x,y),

所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.

(2)由题意,得=+=(x+6,y+1),

=+=(x-2,y-3).

因为⊥,所以·=0,

即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.

由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1.

当y=3时,x=-6,此时,=(-6,3),=(0,4),=(-8,0),

所以||=4,||=8,

所以S四边形ABCD=||||=16.

当y=-1时,x=2,此时,=(2,-1),=(8,0),=(0,-4).

所以||=8,||=4,S四边形ABCD=16.

综上可知或

S四边形ABCD=16.

20.(12分)如图,某海轮以60 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40 min后到达点B,测得油井P在南偏东30°,海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min到达点C,求P,C间的距离.

解:由题意知AB=40 n mile,∠BAP=120°,∠ABP=30°,

所以∠APB=30°,所以AP=40 n mile,

所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos 120°=402+402-2×40×40×（-）=402×3,

所以BP=40 n mile.

因为∠PBC=90°,BC=80 n mile,

所以PC2=BP2+BC2=(40)2+802=11 200,

所以PC=40 n mile,

即P,C间的距离为40 n mile.

21.(12分)在边长为1的菱形ABCD中,A=60°,E是线段CD上一点,满足||=2||,如图所示,设=a,=b.

(1)用a,b表示.

(2)在线段BC上是否存在一点F,满足AF⊥BE?若存在,确定点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由.

解:(1)根据题意,得==b,

===-=-a,

所以=+=b-a.

(2)结论:在线段BC上存在使得4||=||的一点F,满足AF⊥BE,此时||=.

求解如下:

设=t=tb,则=(1-t)b(0≤t≤1),

所以=+=a+tb.

因为在边长为1的菱形ABCD中,A=60°,

所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos 60°=.

因为AF⊥BE,

所以·=(a+tb)·（b-a）=（1-t）a·b-a2+tb2=（1-t）×-+t=0,

解得t=,所以=a+b,

所以||====.

22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足

sin A+cos A=2.

(1)求角A的大小.

(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案,并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)

解:(1)依题意,得2sin（A+）=2,

即sin（A+）=1.

因为0<A<π,所以<A+<,

所以A+=,所以A=.

(2)参考方案:选择①②.

由正弦定理=,得b==2.

因为A+B+C=π,

所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,

所以S△ABC=absin C=×2×2×=+1.