高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数一课一练

4.2.2 指数函数的图象和性质

1.    函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    函数且，，的图象可能为 (    )

A.  B.
C.  D.

3.    函数且的图象不可能是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    函数，且的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    下列结论中，正确的是(    )

A. 函数是指数函数
B. 函数的单调增区间是．
C. 若，则
D. 函数的图像必过定点

6.    若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是          ，且函数恒过定点          ．
7.    若指数函数的图象经过点，则          ；不等式的解集是          ．
8.    已知恒过定点且在直线上，其中，则的最小值为          ．
9.    已知，，若同时满足条件：

，或；    ，．

则的取值范围是_______

10. 已知函数且的图象经过点
    比较与的大小；
    求函数的值域．
11. 洛阳一高高一期末已知函数，，，，且，．

求，的值；

若，求的值域．

12. 已知指数函数的图象经过点，

求的解析式；

当时，求的值域．

13. 已知函数的图象经过点，其中且．

求的值

求函数的值域．

14. 定义在上的奇函数，已知当时，．

求在上的解析式；

若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

15. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数．

确定和的解析式；

判断函数的单调性，并用定义证明；

若对于任意，都有成立，求的取值范围．

16. 已知函数是定义在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点．
    求函数的解析式；
    若关于的方程有解，求实数的取值范围；
    若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 求函数的定义域和值域．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复合函数的值域，属于中档题．
先分解函数，再配方求出二次函数的值域，最后根据指数函数的单调性即可求出值域．

【解答】

解：设，
则，
因为为减函数，
所以，
即函数的值域为．

故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象及其性质，解题的关键是掌握指数函数的单调性，属于中档题．
利用函数性质对图象进行分析，选用排除法逐项排除即可．

【解答】

解：设
因为，所以函数为偶函数，排除．
由函数，且，可排除，
当时，选项C符合，
当时，函数图像在上单调递增，但图像应该是下凸，不满足题意，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象和性质，涉及二次函数的性质．
令，则，再分和得出的范围，结合图象可得．

【解答】

解：令，则，
在，中，由指数函数的性质知，，则，
因此，可能
在，中，由指数函数的性质知，，则
因此可能，不可能．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象及函数的图象与变换，熟练掌握指数函数的图象与性质，以及函数图象的变换法则是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力．
根据指数函数的图象与性质，分和两种情况，再结合函数图象的变换法则进行讨论即可．

【解答】

解：若，则单调递减，保留轴右侧的图象不变，将右侧的翻折至左侧，可得到的图象，
再向左平移的单位，可得到，符合选项C；
若，则单调递增，保留轴右侧的图象不变，将右侧的翻折至左侧，可得到的图象，再向左平移的单位，可得到，符合选项B．
故选BC．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数及其性质，复合函数单调性，考查推理能力．
利用指数的定义判断选项；利用复合函数单调性，判断选项；
利用指数函数单调性，判断选项；
利用指数函数过定点，令，得，得到函数的定点，判断选项．

【解答】

解：利用指数函数的定义知道，函数的系数不为，所以不是指数函数，所以A错误；
设，所以函数在单调递减，
因为为减函数，利用复合函数单调性得函数的单调增区间是所以B正确．
当时，为单调递减函数，所以时，则，所以C错误；
令，所以，所以，所以图像必过定点，所以D正确．
故选BD．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的单调性，是解答的关键，考查了指数函数图象过定点问题．
若对任意的实数都有成立，则函数在上单调递增，进而可得的范围由，得，进而得出定点．

【解答】

解：对任意的实数都有成立，
函数在上单调递增，
，
解得：，
由题意，，得，则，
则恒过定点．
故答案为．


 

7.【答案】   

【解析】

【分析】

先求出函数的解析式，从而可得的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解．

本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题．

【解答】

解：设，

因为的图象经过点，

所以，所以，则，

，

等价于，
由函数是上的增函数，

可得，则原不等式的解集为．

故答案为：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，由已知求出的坐标，代入直线，可得，故求出的最小值．

【解答】

解：且的图象恒过定点，
函数且的图象恒过定点，
由点在直线上，得，
．
，

，
当且仅当时等号成立，
故答案为．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数和指数函数的综合应用，由可推得在时恒成立，建立关于的不等式组可得的范围，然后由可得：，使成立，只要使比，中较小的一个大即可，分类讨论可得的范围，综合可得．

【解答】
解：，当时，，
又，或
在时恒成立，
所以二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，
即，解得；
又因为，．
而此时有．
，使成立，
由于，所以，使成立，
故只要使比，中较小的一个大即可，
当时，，只要，解得与的交集为空集；
当时，两根为；，不符合；
当时，，只要，解得，
综上可得的取值范围是：．
故答案为．

10.【答案】解：由已知得：，且，解得：，
在上递减，，
；
，，
，又，
故的值域是． 

【解析】本题考查了函数的单调性、值域问题，考查指数函数的性质．
求出的值，根据函数的单调性比较函数值的大小即可；
根据函数的单调性求出函数的值域即可．
 

11.【答案】解：因为，，
所以，．

由可知，，
令，因为，
所以．
于是，
根据函数的图象图略，
可知当时，，，
所以若，
则的值域为．

【解析】本题考查函数解析式的求解，指数函数，二次函数的性质，属于基础题．
代入解方程组即可；
根据指数函数，二次函数的性质求函数的值域即可．
 

12.【答案】解：设指数函数且，

因为的图象经过点，

所以，

则或舍，

所以的解析式为：；

易知函数在上为减函数，

所以，

又，

所以，

即的值域为．

【解析】本题考查了指数函数的解析式，以及利用函数单调性求值域．
先设出指数函数的解析式，再代入点，即可求出结果；
利用指数函数的单调性可知在上为减函数，即可得出结果．
 

13.【答案】解：因为函数的图象经过点，
所以即．
由得，
函数在上是减函数，当时，函数取最大值，
故，
所以函数
故函数的值域为． 

【解析】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值以及求函数解析式等，中档题．
由的图象过点，代入即可求解．
先判断函数在上是减函数，即可得解．
 

14.【答案】解：由题意，函数是定义在上的奇函数，所以，
解得，又由当时，，
当时，则时，，
又是奇函数，所以，
所以当时，；
因为，恒成立，
即在恒成立，
所以在时恒成立，
因为，所以在时恒成立，
设函数，
由，在上均为减函数，可得函数在上单调递减，
因为时，所以函数的最大值为，
所以，即实数的取值范围是． 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式；
由题意可得在恒成立，由参数分离得在时恒成立，构造函数，利用函数的单调性求得最大值，即可得的取值范围．
 

15.【答案】解：设，
，
，
，
，
是上的奇函数，
，
即，
解得．
经检验，当时，为奇函数，
；
是定义在上的减函数，证明如下：
任取，，，
则
，
，
，
又，，
，
，
是定义在上的减函数；
，且为奇函数，
，
，
解得，
的取值范围是． 

【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，指数函数及其性质，属于中档题．
利用指数函数过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程，解方程得到本题结论；
利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；
利用函数的奇偶性将原不等式化为，利用函数单调性及已知条件可得，解不等式组得到本题结论．
 

16.【答案】解：设，且，则，
所以舍去或，
所以，．
又为奇函数，且定义域为，
所以，即，所以，
所以．
因为
，
又因为，故可得，
故，
又因为有解，
故可得，
设，
则
．
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
要使对任意的，
恒成立，
即对任意的，
恒成立．
因为为奇函数，
所以恒成立．
又因为函数在上单调递减，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
令，，
时，成立，
时，，
所以，．
，，无解．
综上， 

【解析】【试题解析】

本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，属于较难题．
先求出，再利用奇函数的定义域为，由可得，求得的解析式；
由结合指数函数性质可得的值域，故可得实数的取值范围；
先根据单调性的定义判断函数的单调性；再根据奇函数的定义将不等式转化恒成立，即是求，恒成立，结合二次函数性质可讨论得实数的取值范围．

17.【答案】解：，
则函数的定义域为，
设，则，
则函数在上单调递增，
，
函数的值域为． 

【解析】本题主要考查函数的定义域和值域，属于中档题．
将原函数变形为，则函数的定义域为，换元，令，则，而，再利用二次函数的单调性可求得其值域．