2020-2021学年7.5 正态分布课时作业

这是一份2020-2021学年7.5 正态分布课时作业，共6页。试卷主要包含了5正态分布，甲、乙两类水果的质量，4kg，若随机变量ξ～N等内容，欢迎下载使用。

1.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2＝1.99
【答案】D
【解析】由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，∴μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确，∵甲图象比乙图象更“高瘦”，
∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
∵乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，
∴δ2≠1.99，故D错误．故选：D．
2.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )

【答案】A
【解析】由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
3.如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2＝1<σ3
【答案】D
【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态曲线在x＝0处取最大值eq \f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”.故选D.
4.若随机变量X的密度为，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A.p1>p2 B.p1C.p1＝p2 D.不确定
【答案】C
【解析】由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
5.对于总体密度曲线是函数x∈R的图象的正态总体有以下问题：
①正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是( )
A.②④ B.①④ C.①③ D.②③
【答案】C
【解析】利用正态函数图象的基本特征判断.
6. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【答案】C
【解析】∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
7．（2020•新建区校级模拟）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）
A．0.0456 B．0.6826
C．0.9987D．0.9772
【答案】D
【解析】P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1﹣[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．
8．（2020•河南一模）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【解析】∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，
∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，
∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，
∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选C．
9.若随机变量ξ～N（0，1），φ（x）＝P（ξ≤x），其中x＞0，下列等式成立有（ ）
A．φ（﹣x）＝1﹣φ（x） B．φ（2x）＝2φ（x）
C．P（|ξ|＜x）＝2φ（x）﹣1 D．P（|ξ|＞x）＝2﹣φ（x）
【答案】AC
【解析】∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），
∴正态曲线关于ξ＝0对称，
∵Φ（x）＝P（ξ≤x，x＞0），根据曲线的对称性可得φ（﹣x）＝1﹣φ（x），故A正确；
φ（2x）＝P（ξ≤2x），2φ（x）＝2P（ξ≤x），φ（2x）≠2φ（x），故B错误；
P（|ξ|＜x）＝2φ（x）﹣1，故C正确；
P（|ξ|＞x）＝2[1﹣φ（x）]，故D错误．故选AC．
10.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为 .
【答案】2
【解析】∵c＋1与c－1关于ξ＝2对称，∴＝2，∴c＝2.
11.已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
【答案】0.2
【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
12．为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.
（若，则，
【答案】； 人.
【解析】
成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，
高三考生总人数有人，
本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.
故答案为:；人.
13．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？
【解析】∵ξ～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于ξ在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于ξ在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人).
14.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8 , 212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X).
附：≈12.2.
【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，
所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.